marcin

  • Dokumenty88
  • Odsłony10 676
  • Obserwuję6
Dodano: 4 miesiące temu
Rozmiar :1.1 MB
Rozszerzenie:pdf
Odsłony:17
Pobrania:3

Definicje zależności. Kopuły w matematyce finansowej. Aleksandra Kantowska.pdf

marcin Dokumenty Dokumenty - nauka, biznes

Komentarze i opinie (0)

Transkrypt ( 20 z dostępnych 73 stron)

Denicje zale»no±ci. Kopuªy w matematyce nansowej. Aleksandra Kantowska18.06.2014

Spis tre±ci Wst¦p 2 1 Funkcja kopuªa 4 1.1 Podstawowe poj¦cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Pochodne kopuª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.3 Klasa kopuª Archimedesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.1 Kopuªa Claytona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.3.2 Kopuªa Gumbela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.3.3 Kopuªa Franka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2 Procesy stochastyczne 20 2.1 Proces stochastyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 2.2 Proces Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.3 Proces Wienera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 2.4 Geometryczny ruch Browna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 3 Operacja produktowa dla kopuª i proces Markowa 26 3.1 Operacja produktowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 3.2 Operacja produktowa a proces Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 3.3 Przykªad: kopuªa ruchu Browna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 4 Konstrukcja procesów stochastycznych opartych na kopuªach 34 4.1 Metoda konstrukcji procesu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 4.2 Proces ruchu Browna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 4.3 Proces kopuªy Franka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 4.4 Proces kopuªy Claytona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 5 Modelowanie rynku z u»yciem procesu kopuªy Browna 43 5.1 Opcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 5.2 Model Blacka-Scholesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 5.3 Wycena opcji europejskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 5.4 Wycena opcji binarnej barierowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 6 Podsumowanie 53 A Zaª¡cznik - rozkªady prawdopodobie«stwa 54 B Zaª¡cznik - kody programów 55 B.1 Zaª¡cznik 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 B.2 Zaª¡cznik 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 B.3 Zaª¡cznik 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 B.4 Zaª¡cznik 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 B.5 Zaª¡cznik 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 B.6 Zaª¡cznik 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Spis rysunków 71 Bibliograa 72 1

Wst¦p W pracy zajmiemy si¦ struktur¡ zale»no±ci jak¡ jest proces Markowa. Poka»emy konstrukcj¦ procesu Markowa opartego na kopule i zastosowanie takiego procesu w nansach. Zacznijmy zatem od krótkiego przybli»enia, czym jest ta funkcja. Funkcja kopuªa (ang. copula) jest to funkcja, dzi¦ki której mo»emy poª¡czy¢ rozkªad ª¡czny z jego rozkªadami brzegowymi, krótko mo»na powiedzie¢, »e jest to funkcja poª¡czenia. W pracy cz¦sto funkcje te b¦dziemy nazywa¢ po prostu kopuªami. Poj¦cie kopuªy zostaªo po raz pierwszy przedstawione przez Abe Sklar'a w roku 1959 w twierdzeniu, które nosi teraz jego imi¦, a które opisuje funkcje ª¡cz¡ce dystrybuanty jednowymiarowe z dystrybuant¡ wielowymiarow¡. Mimo, »e od czasu wprowadzenia tego twierdzenia min¦ªo ju» ponad 50 lat, to teoria kopuª jest to dziedzina matematyki, która caªy czas si¦ rozwija. Istnieje kilka struktur zale»no±ci pomi¦dzy zmiennymi losowymi, w których wykorzystuje si¦ kopuªy. Jednymi z najpopularniejszych s¡ Spearmana, czy Kendalla (szczegóªy w [11]). My jednak zajmiemy si¦ struktur¡ zale»no±ci jak¡ jest proces Markowa. Po raz pierwszy zastosowanie kopuª do procesów Markowa przedstawiª William Darsow w pracy Copulas and Markov Proces- ses (1992). Przedstawione przez niego podejscie byªo nowym podejsciem do tych procesów i daªo nowe interpretacje. W rozdziale pierwszym przedstawimy podstawowe denicje, twierdzenia oraz wªasno±ci z teo- rii funkcji kopuª. Przytoczymy najwa»niejsze twierdzenie w teorii kopuª - twierdzenie Sklara. Przedstawimy klas¦ kopuª Archimedesa oraz wprowadzimy przykªady kopuª nale»¡cych do niej na- le»¡cych. Dla kopuª Claytona, Gumbela i Franka podamy ich generatory, a tak»e wyprowadzimy wzory na te kopuªy. W rozdziale drugim wprowadzimy podstawy teorii dotycz¡cej procesów stochastycznych. Po- wiemy co to jest proces stochastyczny, ltracja czy moment stopu. Przedstawimy tak»e po krótce jak wygl¡da proces Wienera i geometryczny ruch Browna, a tak»e jaki proces mo»emy nazwa¢ procesem Markowa. W rozdziale trzecim zajmiemy si¦ pokazaniem zwi¡zku teorii kopuª z procesami Markowa. Wprowadzimy operacj¦ produktow¡ wraz z podstawowymi wªasno±ciami oraz przytoczymy twier- dzenie pokazuj¡ce zwi¡zek procesu Markowa z kopuªami. Wyprowadzimy tak»e wzór na posta¢ kopuªy zbudowanej na procesie Wienera. W rozdziale czwartym skupimy si¦ na konstrukcji procesów stochastycznych opartych na kopu- ªach. Przedstawimy metod¦ konstrukcji takich procesów oraz przedstawimy przykªady symulacji procesów opartych na kopuªach: ruchu Browna, Franka oraz Claytona. Pi¡ty rozdziaª po±wi¦cony jest sprawdzeniu jak zachowuje si¦ rozwi¡zanie równania stocha- stycznego, gdy w miejscu procesu Wienera u»yjemy pocesu kopuªy ruchu Browna. Przytoczymy podstawowe poj¦cia z zakresu opcji oraz skupimy si¦ w nim na wycenie opcji i porównaniu warto±ci otrzymanych za pomoc¡ standardowego modelu oraz przy u»yciu procesu opartego na kopule. W szóstym rozdziale podsumujemy caª¡ prac¦ oraz otrzymane wyniki. 2

Na ko«cu pracy znajduj¡ si¦ zaª¡czniki. W cz¦±ci A znajdziemy denicje rozkªadów praw- dopodobie«stwa u»ytych w pracy. Natomiast w cz¦±ci B znajduj¡ si¦ kody z programu R u»yte w pracy. Wszystkie wykresy u»yte w pracy zostaªy wygenerowane samodzielnie w programie R i kody u»yte do ich otrzymania znajduj¡ si¦ w tej cz¦±ci. ‘rodowisko R jest to bezpªatny program u»ywany do oblicze« statystycznych oraz prezentacji wyników. W naszym przypadku, aby uzyska¢ przedstawienie graczne kopuª u»yli±my pakietu copula. 3

Rozdziaª 1 Funkcja kopuªa Jak ju» wspomnieli±my we wst¦pie, kopuªy s¡ to tak zwane funkcje poª¡czenia. W tym rozdziale zajmiemy si¦ wprowadzeniem ich podstawowych denicji, twierdze« oraz wªasno±ci. Podamy tak»e przykªady kopuª nale»¡cych do jednej z najwa»niejszych klas kopuª - klasy kopuª Archimedesa. 1.1 Podstawowe poj¦cia Zacznijmy od wprowadzenia oznacze«, które b¦dziemy stosowa¢ w caªej pracy. Niech Ioznacza przedziaª jednostkowy [0;1] ;a I2 = I Ikwadrat jednostkowy. B¦dziemy korzysta¢ z nast¦puj¡cej notacji: R= ( 1 ;1 );  R = [ 1 ;1 ]oraz  R 2 =  R   R :Jako dom(f )   R d b¦dziemy rozumie¢ dziedzin¦ funkcji f ;a przez ran(f )  Rjej zbiór warto±ci. Niech F 12 ( x 1; x 2) = P(X 1 x 1; X 2 x 2) b¦dzie dystrybuant¡ ª¡czn¡ zmiennych losowych X 1i X 2o dystrybuantach F 1( x 1) = P(X 1 x 1) iF 2( x 2) = P(X 2 x 2) ; odpowiednio, które nazywamy dystrybuantami brzegowymi. Mo»emy powiedzie¢, »e z ka»d¡ par¡ liczb (x 1; x 2) powi¡zane s¡ trzy warto±ci: F 1( x 1) ; F 2( x 2) oraz F 12 ( x 1; x 2) : W zwi¡zku z tym, »e s¡ to dystrybuanty mo»emy zauwa»y¢, »e ka»da z tych liczb nale»y do przedziaªu [0;1] : Wprowad¹my teraz denicje, które b¦d¡ nam potrzebne w dalszej cz¦±ci. Denicja 1. [11] Niech S 1; S 2b¦d¡ niepustymi podzbiorami  R ;niech Hb¦dzie funkcj¡ rzeczywist¡ dwóch zmiennych tak¡, »e dom(H ) = S 1  S 2: Niech B= [ x 1; x 2]  [y 1; y 2] b¦dzie kwadratem, którego wszystkie wierzchoªki nale»¡ do dom(H ): Wtedy H-obj¦to±¢ od zbioru Bdana jest wzorem V H ( B ) = H(x 2; y 2) H(x 2; y 1) H(x 1; y 2) + H(x 1; y 1) : (1.1) Denicja 2. [11] Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych Hjest 2-rosn¡ca, je»eli V H ( B ) 0d la ka»dego kwadratu B; którego wierzchoªki le»¡ w dziedzinie dom(H ): Wprowad¹my teraz denicj¦ kopuªy dla przypadku dwuwymiarowego. Denicja 3. [2] 2-wymiarow¡ kopuª¡ (w skrócie 2-kopuª¡ lub kopuª¡) nazywamy funkcj¦ C:I2 ! Ispeªniaj¡c¡ nast¦puj¡ce warunki: 1. 8u;v 2I C (u; 0) = C(0 ; v ) = 0 (1.2) 4

oraz 8u;v 2I C (u; 1) = uiC(1 ; v ) = v; (1.3) 2. 8 u1;u 2;v 1;v 22 I u 1  u 2 i v 1 v 2 C (u 2; v 2) C(u 2; v 1) C(u 1; v 2) + C(u 1; v 1)  0: Pierwszy punkt daje nam warunki brzegowe, które gwarantuj¡ jednostajny rozkªad brzegowy. Natomiast drugi jest warunkiem monotoniczno±ci funkcji. Dla wymiaru d >2denicja d-kopuªy jest nast¦puj¡ca: Denicja 4. [2] D-wymiarow¡ kopuª¡ (d-kopuª¡) nazywamy funkcj¦ C:Id ! Ispeªniaj¡c¡: 1.Warunki brzegowe: (a) 8 i8 x1;:::;x d C (x 1; : : : ; x i 1; 0 ; x i+1 ; : : : ; x d) = 0 ; (b)funkcja (x 1; : : : ; x i 1; x i+1 ; : : : ; x d) ! C(x 1; : : : ; x i 1; 1 ; x i+1 ; : : : ; x d) jest (d-1)-kopuª¡ d la ka»dego i: 2.Warunek monotoniczno±ci: VC ( R ) = X K 2R sgn (K )C (K ) 0 d la ka»dego prostok¡ta R= Q d i =1 [ x i; y i] ; x i y i; gdzie K= (  1 ; : : : ;  d) jest zbiorem jego wierzchoªków takich, »e  i = x i lub y i oraz sgn (K ) = 8 >< >: 1; je»eli liczba wspóªrz¦dnych x i spo±ród wszystkich wspóªrz¦dnych K jest nieparzysta, 1 ; w przeciwnym razie. W teorii kopuª istniej¡ tak»e pewne ograniczenia funkcji nazywane ograniczeniami Frécheta- Hoeffdinga. Twierdzenie 1. [10] Dla dowolnej kopuªy C(x 1; : : : ; x d) mamy ograniczenia max ( d X i =1 x i+ 1 d;0) C(x 1; : : : ; x d)  min fx 1; : : : ; x dg : (1.4) Dowód powy»szego twierdzenia mo»na znale¹¢ w [10]. Zajmijmy si¦ przez chwil¦ praw¡ stron¡ nierówno±ci (1.4), któr¡ nazywamy górnym ogranicze- niem Frécheta-Hoeffdinga. Aby upro±ci¢ zapis tego ograniczenia stosujemy dla niego oznaczenie M (x 1; : : : ; x d) : Interpretacja geometryczna górnego ograniczenia jest taka, »e powierzchnia do- wolnej kopuªy musi le»e¢ pod powierzchni¡ funkcji Mlub by¢ jej równa. W przypadku, gdy powierzchnia kopuªy jest równa górnemu ograniczeniu, to kopuª¦ tak¡ nazywamy kopuª¡ wspólnie monotoniczn¡ (ang. comonotonicity) i okre±lamy j¡ wzorem M (x 1; : : : ; x d) = min fx 1; : : : ; x dg : 5

Gdy ograniczymy si¦ do przypadku 2-wymiarowego to kopuªa wspólnie monotoniczna jest postaci M(x 1; x 2) = min fx 1; x 2g : Interpretacj¦ stochastyczn¡ tej kopuªy mo»emy przedstawi¢ nast¦puj¡co: zmienne losowe X 1i X 2 poª¡czone s¡ ze sob¡ za pomoc¡ kopuªy Mwtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X 2 jest prawie na pewno niemalej¡c¡ funkcj¡ X 1: Kopuªa ta odnosi si¦ do zale»no±ci deterministycznych. Interpretacja graczna tej kopuªy przedstawiona jest na poni»szym rysunku (kod z programu R w zaª¡czniku 1A). Rysunek 1.1: Wykres powierzchni i konturu górnego ograniczenia Frécheta Przejd¹my teraz do lewej strony nierówno±ci (1.4), któr¡ nazywamy dolnym ograniczeniem Frécheta-Hoeffdinga oraz u»ywamy dla niego oznaczenia W(x 1; : : : ; x d) . Interpretacja geome- tryczna dolnego ograniczenia jest taka, »e powierzchnia dowolnej kopuªy musi le»e¢ nad powierzch- ni¡ funkcji W:Dla wymiaru d 3funkcja Wnie jest kopuª¡. W przypadku, gdy d= 2 dolne ograniczenie Frécheta-Hoeffdinga jest kopuª¡ postaci W(x 1; x 2) = max( x 1 + x 2 1;0) : Kopuªa ta nosi nazw¦ kopuªy przeciwnie monotonicznej (ang. countermonotonicity). Kopuªa ta, tak samo jak kopuªa wspólnie monotoniczna, odnosi si¦ do zale»no±ci deterministycznych a jej interpretacja stochastyczna jest nast¦puj¡ca: zmienne losowe X 1 i X 2 s¡ poª¡czone za pomoc¡ kopuªy Wwtedy i tylko wtedy, gdy X 2jest prawie na pewno nierosn¡c¡ funkcj¡ X 1: Ograniczenie to gracznie prezentuje si¦ nast¦puj¡co (kod z programu R w zaª¡czniku 1B). Rysunek 1.2: Wykres powierzchni i konturu dolnego ograniczenia Frécheta 6

Nierówno±¢ (1.4) dla kopuª 2-wymiarowych oraz wykorzystuj¡c wprowadzone oznaczenia mo- »emy zapisujemy nast¦puj¡co W(x 1; x 2)  C(x 1; x 2)  M (x 1; x 2) : Istnieje jeszcze jedna wa»na kopuªa, jest to kopuªa produktowa postaci Y(x 1; : : : ; x d) = d Y i =1 x i; nazywana kopuª¡ niezale»n¡. Jej interpretacja stochastyczna jest nast¦puj¡ca: zmienne losowe X 1 i X 2s¡ poª¡czone za pomoc¡ kopuªy Q wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne te s¡ niezale»ne. Kopuªa odnosi si¦ do niezale»no±ci a nie jak to byªo w przypadku dwóch poprzednich kopuª do zale»no±ci deterministycznych. Poni»szy wykres pokazuje powierzchni¦ kopuªy niezale»nej oraz jej wykres konturowy (kod z pro- gramu R w zaª¡czniku 1C). Rysunek 1.3: Wykres powierzchni i konturu kopuªy niezale»nej Przejd¹my teraz do wa»nego twierdzenia w teorii kopuª jakim jest twierdzenie Sklar'a. Twier- dzenie to zostaªo po raz pierwszy sprecyzowane przez Sklar'a w roku 1959 i okre±la znaczenie kopuª w badaniu dystrybuant wielowymiarowych. Dzi¦ki temu twierdzeniu mo»emy zauwa»y¢, »e kopuªy razem z jednowymiarowymi dystrybuantami mog¡ by¢ u»ywane w konstrukcji wielowymiarowych dystrybuant oraz »e wszystkie wielowymiarowe dystrybuanty zawieraj¡ kopuªy. Twierdzenie 2. [10](Sklar, 1959) Niech F 12 :::d b¦dzie d-wymiarow¡ dystrybuant¡ ª¡czn¡ z dystrybuantami brzegowymi F 1; F 2; : : : ; F d: Wtedy istnieje kopuªa C:Id ! Itaka, »e d la ka»dego x 1; x 2; : : : x d2  R ; F 12 :::d ( x 1; x 2; : : : ; x d) = C(F 1( x 1) ; F 2( x 2) ; : : : ; F d( x d)) : (1.5) Je»eli F 1; F 2; : : : ; F ds¡ ci¡gªe to kopuªa Cokre±lona jest jednoznacznie; w przeciwnym razie ko- puªa Cokre±lona jest jednoznacznie na ran(F 1)  ran (F 2)      ran(F d) : Odwrotnie, je»eli Cjest kopuª¡ oraz F 1; F 2; : : : ; F ds¡ dystrybuantami, wtedy funkcja F 12 :::d okre- ±lona przez (1.5) jest dystrybuant¡ ª¡czn¡ o dystrybuantach brzegowych F 1; F 2; : : : ; F d: W dowodzie twierdzenia b¦dziemy korzysta¢ z uogólnionej funkcji odwrotnej wprowad¹my wi¦c jej denicj¦. Denicja 5. [10] 7

Uogólnion¡ funkcj¡ odwrotn¡ funkcji rosn¡cej Tnazywamy funkcj¦ postaci T (y ) = inf fx :T (x )  yg; gdzie u»ywamy konwencji inf;= 1: Zajmuj¡c si¦ kopuªami musimy tak»e zna¢ operacje takie jak transformacja kwantyla i praw- dopodobie«stwa. S¡ one okre±lone w poni»szym stwierdzeniu. Stwierdzenie 1. [10] Niech Gb¦dzie dystrybuant¡ oraz niech G oznacza jej uogólnion¡ funkcj¦ odwrotn¡, czyli G (y ) = inf fx :G (x )  yg: 1.Transformacja kwantyla: je»eli UU(0 ;1) ma standardowy rozkªad jednostajny to P (G (U ) x) = G(x ): 2.Transformacja prawdopodobie«stwa: je»eli zmienna losowa Yma dystrybuant¦ G;gdzie Gjest ci¡gª¡ dystrybuant¡ jednowymiarow¡, to G(Y ) U(0 ;1) : Dowód. twierdzenia Sklar'a [10] Przeprowadzimy szkic dowodu. Udowodnimy istnienie i jednoznaczno±¢ kopuªy w sytuacji, gdy dystrybuanty brzegowe F 1; : : : ; F ds¡ ci¡gªe. Dla dowolnych x 1; : : : ; x d2  R je»eli wektor zmiennych losowych X= ( X 1; : : : ; X d) ma dystrybu- ant¦ ª¡czn¡ F 1:::d ( x 1; : : : ; x d) ; to F 1:::d ( x 1; : : : ; x d) = P(X 1 x 1; : : : ; X d x d) = P(F 1( X 1)  F 1( x 1) ; : : : ; F d( X d)  F d( x d)) : W zwi¡zku z naszym zaªo»eniem, »e jednowymiarowe dystrybuanty brzegowe s¡ ci¡gªe mo»emy skorzysta¢ ze Stwierdzenia 1, a dokªadnie z punktu 2. o transformacji prawdopodobie«stwa. Otrzy- mujemy zatem, »e dystrybuanty maj¡ standardowe rozkªady jednostajne. Z tego oraz z denicji kopuªy otrzymujemy, »e (F 1( X 1) ; : : : ; F d( X d)) jest kopuª¡, któr¡ oznaczymy przez C:Zatem otrzy- mali±my (1.5). Je»eli oszacujemy (1.5) dla argumentów x i = F i ( u i) ; 0  u i  1; i = 1 ; : : : ; d; oraz skorzystamy z wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej, która brzmi [10]: Tjest rosn¡c¡ funkcj¡ ci¡gª¡ oraz T (y ) < 1 ) TT (y ) = y; to otrzymujemy C(u 1; : : : ; u d) = F(F 1 ( u 1) : : : ; F d ( u d)) ; co daje nam reprezentacje Cwzgl¦dem Foraz jej rozkªadów brzegowych. Otrzymujemy zatem jednoznaczno±¢ kopuªy. Aby przeprowadzi¢ dowód w drug¡ stron¦ zaªó»my, »e Cjest kopuª¡ oraz »e F 1; : : : ; F ds¡ dystrybu- antami jednowymiarowymi. Skonstruujemy wektor losowy o dystrybuancie (1.5) poprzez wzi¦cie wektora losowego Uo dystrybuancie C:Ustalmy tak»e wektor X := ( F 1 ( U 1) ; : : : ; F d ( U d)) : Wykorzystuj¡c wªasno±¢ uogólnionej funkcji odwrotnej dla funkcji rosn¡cej i dla której zachodzi 8

T (y ) < 1;która brzmi [10]: je»eli funkcja Tjest prawostronnie ci¡gªa, T(x )  y, T (y )  x; otrzymujemy P(X 1 x 1; : : : ; X d x d) = P(F 1 ( U 1)  x 1; : : : ; F d ( U d)  x d) = P(U 1  F 1( x 1) ; : : : ; U d F d( x d)) = C(F 1( x 1) ; : : : ; F d( x d)) : Zatem dowód twierdzenia zostaª zako«czony Mo»emy tak»e zauwa»y¢ kilka wªasno±ci jakimi charakteryzuj¡ si¦ kopuªy. Przedstawimy je dla przypadku dwuwymiarowego, jednak mo»na je uogólni¢ dla przypadków wielowymiarowych. Niech Coznacza zbiór wszystkich kopuª okre±lonych na kwadracie jednostkowym I2 oraz niech C 2 C : Wªasno±¢ 1. [2] Dla dowolnych u 1 i u 2 speªniaj¡cych zale»no±¢ 0 u 1  u 2  1; funkcja v ! C(u 2; v ) C(u 1; v ) (1.6) jest niemalej¡ca. Analogicznie dla dowolnych v 1 oraz v 2 speªniaj¡cych zale»no±¢ 0 v 1  v 2  1; funkcja u! C(u; v 2) C(u; v 1) (1.7) jest funkcj¡ niemalej¡c¡. Obie wªasno±ci wynikaj¡ wprost z denicji kopuªy, a dokªadnie z warunku na monotoniczno±¢ funkcji. Wªasno±¢ 2. [2] Dla ka»dego u 1; u 22 [0;1] speªniaj¡cych 0 u 1  u 2  1oraz dla ka»dego v2 [0;1] zachodzi 0  C(u 2; v ) C(u 1; v ) u 2 u 1: (1.8) Analogicznie, dla ka»dego v 1; v 22 [0;1] speªniaj¡cych 0 v 1  v 2  1oraz dla ka»dego u2 [0;1] zachodzi 0 C(u; v 2) C(u; v 1)  v 2 v 1: (1.9) Dowód. Nierówno±¢ (1.8) otrzymujemy poprzez podstawienie do (1.6) najpierw v= 0 a nast¦pnie v = 1 ;gdy» v2 [0;1] oraz poprzez skorzystanie z warunków brzegowych i poª¡czenie otrzymanych nierówno±ci. Czyli v= 0 C(u 2; 0) C(u 1; 0) = 0 ; v = 1 C(u 2; 1) C(u 1; 1) = u 2 u 1; zatem ze wzgl¦du na zmienn¡ votrzymujemy ograniczenia 0  C(u 2; v ) C(u 1; v ) u 2 u 1: 9

Nierówno±¢ (1.9) otrzymujemy analogicznie, dla zmiennej u2 [0;1] ;czyli u = 0 C(0 ; v 2) C(0 ; v 1) = 0 ; u = 1 C(1 ; v 2) C(1 ; v 1) = v 2 v 1; zatem ze wzgl¦du na zmienn¡ uotrzymujemy ograniczenia 0  C(u; v 2) C(u; v 1)  v 2 v 1: Wªasno±¢ 3. [2] Dla ka»dego u 1; u 2; v 1; v 22 [0;1] j C (u 2; v 2) C(u 1; v 1) j  j u 1 u 2j + jv 1 v 2j : (1.10) Widzimy z tej nierówno±ci, »e kopuªy s¡ funkcjami ci¡gªymi w sensie Lipschitza, poniewa» staªa Lipschitza wynosi 1: Dowód. Nierówno±¢ (1.10) wynika z nierówno±ci (1.8) i (1.9). Wªasno±¢ 4. [2] Dla ka»dego u2 [0;1] funkcja v! C(u; v )jest niemalej¡ca. Analogicznie dla ka»dego v2 [0;1] funkcja u! C(u; v )jest tak»e niemalej¡ca. Dowód. Powy»sze rezultaty otrzymujemy jako specjalne przypadki funkcji z Wªasno±ci 1. Uzysku- jemy je poprzez wzi¦cie u 1 = 0 dla funkcji (1.6) oraz v 1 = 0 dla funkcji (1.7). Z wªasno±ci tych b¦dziemy korzysta¢ w dalszej cz¦±ci pracy. 1.2 Pochodne kopuª Z denicji kopuª wiemy, »e s¡ one funkcjami monotonicznymi. W zwi¡zku z tym s¡ one ró»niczko- walne prawie wsz¦dzie [9], czyli mo»emy okre±li¢ ich pochodne cz¡stkowe. Poprzez C ;1 b¦dziemy oznacza¢ pochodn¡ wzgl¦dem pierwszego argumentu, czyli C;1 ( u; v ) = @ C (u; v ) @ u : Poprzez C ;2 oznaczymy pochodn¡ cz¡stkow¡ wzgl¦dem drugiego argumentu C;2 ( u; v ) = @ C (u; v ) @ v oraz przez oznaczymy C ;12 pochodn¡ cz¡stkow¡ mieszan¡ rz¦du drugiego, czyli C;12 ( u; v ) = @ 2 C (u; v ) @ u@ v : Pochodne te b¦d¡ nam potrzebne, aby zdeniowa¢ operacj¦ produktow¡ na kopuªach. Najpierw jednak zauwa»my pewne wªasno±ci, jakie wykazuj¡ te pochodne, a które b¦d¡ nam przydatne w dalszej cz¦±ci pracy. Wªasno±ci pochodnych tak jak i przedstawione wcze±niej wªasno±ci kopuª 10

przedstawimy dla przypadku dwuwymiarowego, jednak mo»na je uogólni¢ dla przypadków wielo- wymiarowych. Twierdzenie 3. [11] Niech Cb¦dzie kopuª¡. Dla dowolnego v2 Ipochodna cz¡stkowa C ;1 ( u; v )istnieje d la prawie wszystkich uwzgl¦dem miary Lebesgue'a. Dla takich uiv zachodzi 0  C ;1 ( u; v ) 1: (1.11) Podobnie d la dowolnego u2 Ipochodna cz¡stkowa C ;2 ( u; v )istnieje d la prawie wszystkich vwzgl¦- dem miary Lebesgue'a. Dla takich uiv zachodzi 0  C ;2 ( u; v ) 1: (1.12) Co wi¦cej funkcje u7! C ;2 ( u; v )iv 7! C ;1 ( u; v )mo»na okre±li¢ i s¡ niemalej¡ce prawie wsz¦dzie na I : Dowód. [2],[11] W zwi¡zku z tym, »e kopuªy jako funkcje monotoniczne s¡ ró»niczkowalne prawie wsz¦dzie [9] to od razu otrzymujemy istnienie pochodnych cz¡stkowych C ;1 ( u; v )iC ;2 ( u; v ): Nierówno±ci (1.11) i (1.12) wynikaj¡ z Wªasno±ci 3 poprzez wzi¦cie v 1 = v 2 dla (1.11) i u 1 = u 2 dla (1.12). Dla ustalonego v 1 pochodna cz¡stkowa C ;1 ( u; v 1) istnieje dla u2 I v1  Ioraz miara Lebesgue'a zbioru I v1 wynosi Leb(I v1 ) = 1 :Tak samo dla ustalonego v 2 pochodna cz¡stkowa C ;1 ( u; v 2) istnieje dla u2 I v2  Ioraz miara Lebesgue'a zbioru I v2 wynosi Leb(I v2 ) = 1 :Zatem, gdy v 1  v 2 otrzymujemy, »e pochodna [C (u; v 2) C(u; v 1)] ;1 = C ;1 ( u; v 2) C ;1 ( u; v 1)  0 (1.13) istnieje dla zbioru I v1 \ I v2 ; gdy u2 I v1 \ I v2 : Gdy Yjest g¦stym i przeliczalnym podzbiorem I ;to zbiór J = \ v 2 Y I v ; ma miar¦ Lebesgue'a równ¡ Leb(J ) = 1 :Dla wszystkich v2 Y iu 2 J pochodna C ;1 ( u; v )istnieje. Z (1.13) wynika, »e funkcja Y3v! C ;1 ( u; v )jest niemalej¡ca dla u2 J: Czyli funkcj¦ Y 3v! C ;1 ( u; v ) mo»na zdeniowa¢ i jest ona niemalej¡ca prawie wsz¦dzie dla v2 Ii dla prawie wszystkich u2 J: Analogiczne rezultaty otrzymujemy dla funkcji u! C ;2 ( u; v ): Z powy»szego twierdzenia otrzymujemy nast¦puj¡cy wniosek. Wniosek 1. Dla funkcji (1.6) oraz (1.7) zachodzi [C (u 2; v ) C(u 1; v )] ;2  0 je»eli u 1  u 2; (1.14) [ C (u; v 2) C(u; v 1)] ;1  0 je»eli v 1  v 2: (1.15) 11

1.3 Klasa kopuª Archimedesa Klasa kopuª Archimedesa jest wa»n¡ klas¡ kopuª, gdy» kopuªy te znajduj¡ wiele zastosowa«. Zwi¡- zane jest to z tym, »e stosunkowo ªatwo mo»na je skonstruowa¢ oraz klasa ta jest zªo»ona z wielu rodzin kopuª a co za tym idzie wyst¦puje du»a ró»norodno±¢ rodzin. Kopuªy nale»¡ce do klasy kopuª Archimedesa posiadaj¡ tak»e wiele przydatnych wªasno±ci. Zacznijmy od wprowadzenia denicji funkcji pseudo-odwrotnej, która jest wykorzystywana w postaci kopuª z klasy kopuª Archimedesa. Denicja 6. [11] Niech 'b¦dzie ci¡gª¡, ±ci±le malej¡c¡ funkcj¡ ':I ! [0;1 ]tak¡, »e '(1) = 0 :Pseudo-odwrotno±ci¡ ' jest funkcja '[ 1] o dziedzinie [0;1 )i zbiorze warto±ci Iokre±lon¡ przez ' [ 1] (t) = ( ' 1 (t) ; 0 t '(0) ; 0 ; ' (0)t 1 : (1.16) Wprost z denicji wynika kilka wªasno±ci tej funkcji. Mianowicie funkcja '[ 1] jest ci¡gªa i nierosn¡ca na odcinku [0;1 ]oraz ±ci±le malej¡ca na odcinku [0; ' (0)] :Otrzymujemy tak»e, »e ' [ 1] (' (u )) = una caªym odcinku I ;oraz ' (' [ 1] (t)) = ( t;0 t '(0) ' (0) ; ' (0)t 1 = min( t; '(0)) : W sytuacji, gdy '(0) = 1;to '[ 1] = ' 1 : Lemat 1. [11] Niech 'b¦dzie ci¡gª¡, ±ci±le malej¡c¡ funkcj¡ ':I ! [0;1 ]tak¡, »e '(1) = 0 oraz niech '[ 1] b¦dzie funkcj¡ pseudo-odwrotn¡ funkcji 'zdeniowan¡ poprzez (1.16). Niech Cb¦dzie funkcj¡ C :I2 ! Iokre±lon¡ przez C(u; v ) = '[ 1] (' (u ) + '(v )) : (1.17) Wtedy Cspeªnia warunki brzegowe d la kopuª. Dowód. Jako pierwsze sprawd¹my, czy funkcja speªnia warunek (1.2). Wobec tego C(u; 0) = '[ 1] (' (u ) + '(0)) ; argument funkcji pseudo-odwrotnej jest postaci t= '(u ) + '(0) ; czyli t '(0) : Zatem z denicji otrzymujemy, »e C(u; 0) = '[ 1] (' (u ) + '(0)) = 0 : Z symetrii mamy tak»e C(0 ; v ) = 0 ;czyli warunek ten jest speªniony. Sprawd¹my teraz, czy funkcja 12

speªnia warunek (1.3): C(u; 1) = '[ 1] (' (u ) + '(1)) = '[ 1] (' (u ) + 0) = '[ 1] (' (u )) = u Z symetrii otrzymujemy C(1 ; v ) = v:Zatem warunek (1.3) tak»e jest speªniony. Otrzymali±my wi¦c, »e funkcja postaci C(u; v ) = '[ 1] (' (u ) + '(v )) speªnia warunki brzegowe (1.2) i (1.3). Lemat 2. [11] Niech 'b¦dzie ci¡gª¡, ±ci±le malej¡c¡ funkcj¡ ':I ! [0;1 ]tak¡, »e '(1) = 0 oraz niech '[ 1] b¦dzie funkcj¡ pseudo-odwrotn¡ funkcji 'zdeniowan¡ poprzez (1.16). Niech Cb¦dzie funkcj¡ C :I2 ! Iokre±lon¡ przez C(u; v ) = '[ 1] (' (u ) + '(v )) (1.18) speªniaj¡c¡ warunki brzegowe (1.2) i (1.3). Wtedy Cjest 2-rosn¡ca wtedy i tylko wtedy, gdy d la ka»dego v2 Ioraz u 1  u 2 C(u 2; v ) C(u 1; v ) u 2 u 1: (1.19) Dowód. Poka»emy, »e nierówno±¢ (1.19) jest równowa»na V C ([ u 1; u 2]  [v; 1]) 0; czyli V C ([ u 1; u 2]  [v; 1]) = C(u 2; 1) C(u 2; v ) C(u 1; 1) + C(u 1; v )  0 u 2 C(u 2; v ) u 1 + C(u 1; v )  0 C (u 1; v ) C(u 2; v )  u 1 u 2 C (u 2; v ) C(u 1; v )  u 2 u 1: Zatem nierówno±¢ ta zachodzi zawsze, gdy funkcja Cjest 2-rosn¡ca. St¡d zaªó»my, »e Cspeªnia nierówno±¢ (1.19). Wybierzmy v 1; v 22 Itakie, »e v 1  v 2 oraz zauwa»my, »e C(0 ; v 2) = 0 v 1  v 2 = C(1 ; v 2) : Funkcja Cjest ci¡gªa, poniewa» funkcje 'i' [ 1] s¡ ci¡gªe, czyli istnieje t2 Itakie, »e C(t; v 2) = v 1 lub w równowa»nej postaci otrzymujemy C(t; v 2) = '[ 1] (' (v 2) + '(t)) = v 1 ' (' [ 1] (' (v 2) + '(t))) = '(v 1) ' (v 2) + '(t) = '(v 1) : A st¡d otrzymujemy C(u 2; v 1) C(u 1; v 1) = '[ 1] (' (u 2) + '(v 1)) '[ 1] (' (u 1) + '(v 1)) = '[ 1] (' (u 2) + '(v 2) + '(t)) '[ 1] (' (u 1) + '(v 2) + '(t)) = '[ 1]  ' h ' [ 1] (' (u 2) + '(v 2)) i + '(t)  + '[ 1]  ' h ' [ 1] (' (u 1) + '(v 2)) i + '(t)  = C(C (u 2; v 2) ; t ) C(C (u 1; v 2) ; t )  C(u 2; v 2) C(u 1; v 2) : Zatem otrzymali±my, »e Cjest funkcj¡ 2-rosn¡c¡. 13

Przejd¹my teraz do twierdzenia dzi¦ki któremu otrzymujemy, »e funkcja (1.17) jest kopuª¡. Dla kopuª, które daje si¦ przedstawi¢ w tej postaci u»ywamy nazwy kopuª Archimedesa. Twierdzenie 4. [11] Niech 'b¦dzie ci¡gª¡, ±ci±le malej¡c¡ funkcj¡ ':I ! [0;1 ]tak¡, »e '(1) = 0 oraz niech '[ 1] b¦dzie funkcj¡ pseudo-odwrotn¡ funkcji 'zdeniowan¡ poprzez (1.16). Wtedy funkcja C:I2 ! I okre±lona przez C(u; v ) = '[ 1] (' (u ) + '(v )) jest kopuª¡ wtedy i tylko wtedy, gdy 'jest funkcj¡ wypukª¡. Zanim przejdziemy do dowodu tego twierdzenia przypomnijmy denicj¦ funkcji wypukªej. Denicja 7. [3] Funkcj¦ f(x ) okre±lon¡ i ci¡gª¡ w przedziale Anazywamy wypukª¡ je»eli d la dowolnych punktów x 1; x 22 A nierówno±¢ f( x 1+ x 2)  f (x 1) + f(x 2) jest speªniona d la wszystkich liczb dodatnich i takich, »e + = 1 : Powy»sze twierdzenie zostaªo po raz pierwszy udowodnione przez Alsina et al. w 2005, my bazujemy na dowodzie Nelsena z 2006. Przejd¹my zatem do dowodu. Dowód. W Lemacie 1 udowodnili±my ju», »e funkcja Cspeªnia warunki brzegowe wyst¦puj¡ce w denicji kopuªy. Zostaje nam tylko udowodni¢, »e (1.19) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja 'jest funkcj¡ wypukª¡. ) Po podstawieniu do nierówno±ci (1.19) wzoru na funkcj¦ Cdla u 1  u 2 otrzymujemy odpowiednik tej nierówno±ci '[ 1] (' (u 2) + '(v )) '[ 1] (' (u 1) + '(v )) u 2 u 1 u 1 + '[ 1] (' (u 2) + '(v )) u 2 + '[ 1] (' (u 1) + '(v )) : Je»eli teraz oznaczymy a= '(u 1) ; b ='(u 2) oraz c= '(v ) a nast¦pnie podstawimy te oznaczenia do powy»szej nierówno±ci to otrzymujemy, »e nierówno±¢ (1.19) jest równowa»na z '[ 1] (a ) + '[ 1] (b + c)  '[ 1] (b ) + '[ 1] (a + c); (1.20) gdzie a bic  0: Zaªó»my teraz, »e funkcja pseudo-odwrotna '[ 1] speªnia nierówno±¢ (1.20). Wybierzmy dowolne s; t2[0;1 )speªniaj¡ce 0 s < t: Je»eli ustalimy a= s + t 2 ; b =sic = t s 2 oraz podstawimy te warto±ci do nierówno±ci (1.20) to otrzymujemy '[ 1]  s+ t 2  + '[ 1]  s+ t s 2   '[ 1] (s ) + '[ 1]  s+ t 2 + t s 2  ' [ 1]  s+ t 2  + '[ 1]  s+ t 2   '[ 1] (s ) + '[ 1] (t) ' [ 1]  s+ t 2   ' [ 1] (s ) + '[ 1] (t) 2 ' [ 1]  1 2 s + 1 2 t  1 2 ' [ 1] (s ) + 1 2 ' [ 1] (t) : Poniewa» funkcja '[ 1] jest funkcj¡ ci¡gª¡ to z powy»szego wynika, »e jest funkcj¡ wypukª¡. ( 14

Zaªó»my, »e funkcja '[ 1] jest funkcj¡ wypukª¡. Ustalmy a; b; c2Itakie, »e a b; c 0: Niech = a b a b+ c: Przeksztaªcimy teraz wzór na tak aby otrzyma¢ wzory na aib + c: ( a b+ c) = a b a b +c =a b a +b b +c =a a = b(1 ) + (a + c): Teraz wyznaczymy wzór na b+ c (a b+ c) = a b a +b b +c +c c = a b + c = a+ c a +b c b + c = a(1 ) + c(1 ) + b b + c = (1 )( a+ c) + b : St¡d nakªadaj¡c na otrzymane warto±ci aib+ cfunkcj¦ pseudo-odwrotn¡ otrzymujemy nierówno±ci ' [ 1] (a )  (1 )' [ 1] (b ) + '[ 1] (a + c) oraz '[ 1] (b + c)  ' [ 1] (b ) + (1 )' [ 1] (a + c): Dodajmy teraz powy»sze nierówno±ci '[ 1] (a ) + '[ 1] (b + c)  (1 )' [ 1] (b ) + '[ 1] (a + c) + + '[ 1] (b ) + (1 )' [ 1] (a + c) ' [ 1] (a ) + '[ 1] (b + c)  '[ 1] (b ) + '[ 1] (a + c): Otrzymali±my zatem nierówno±¢ (1.20), która byªa równowa»na nierówno±ci (1.19). Zatem dowód zostaª zako«czony. Kopuªy, które mo»emy przedstawi¢ w postaci (1.17) nazywane s¡ kopuªami Archimedesa. Denicja 8. [10] Ci¡gª¡, ±ci±le malej¡c¡ funkcj¦ wypukª¡ ': [0 ;1] ! [0;1 ]speªniaj¡c¡ '(1) = 0 nazywamy genera- torem kopuªy Archimedesa. Je»eli '(0) = 1to mówimy, »e 'jest generatorem ±cisªym. W sytuacji, gdy badany generator oka»e si¦ generatorem ±cisªym to mo»emy przyj¡¢ '[ 1] = ' 1 : Zatem kopuª¦ mo»emy przedstawi¢ w postaci C(u; v ) = ' 1 (' (u ) + '(v )) :Takie kopuªy mo- »emy nazywa¢ ±cisªymi kopuªami Archimedesa. Przejdziemy teraz do przykªadów rodzin, które nale»¡ do klasy kopuª Archimedesa. Znaj¡c generatory (Nelsen, 2006) wyprowadzimy wzory dla trzech rodzin kopuª, a mianowicie dla rodziny kopuª Claytona, Gumbela i Franka. Ka»da z tych rodzin nale»y do rodzin kopuª jednoparame- trycznych, gdzie parametr mówi o stopniu zale»no±ci pomi¦dzy rozkªadami brzegowymi. Wi¦cej przykªadów kopuª nale»¡cych do tej klasy wraz z ich generatorami mo»na znale¹¢ w [11]. 15

1.3.1 Kopuªa Claytona Generator rodziny kopuª Claytona jest postaci [11]: '( t) = t  1  ;  2[ 1;1 )nf 0g: Sprawdzimy najpierw, czy generator ten jest generatorem ±cisªym '(0) = 0  1  = 1  : Generator w punkcie 0 jest ro»ny od 1;czyli nie jest generatorem ±cisªym. Zatem dla t2 [0; 1  ] funkcja pseudo-odwrotna wynosi ' 1 (t) ; a dla t2 [ 1  ; 1 ]wynosi 0. Mo»emy zatem zapisa¢ j¡ w postaci '[ 1] (t) = max f' 1 (t) ; 0 g : Wyznaczmy teraz funkcj¦ odwrotn¡ dla generatora '( t) = t  1   ' ( t) + 1 = t  = 1 t  (  ' ( t) + 1) 1  = 1 t t = ( ' ( t) + 1) 1  : Zatem funkcja pseudo-odwrotna jest postaci '[ 1] (t) = max f(t + 1) 1  ;0 g : Podstawimy teraz otrzyman¡ funkcj¦ do wzoru na kopuª¦ (1.17) CC l  ( u; v ) = '[ 1] (' (u ) + '(v )) = '[ 1] (u  1  + v  1  ) = '[ 1] (u  + v  2  ) = max f( u  + v  2  + 1) 1  ;0 g = max f(u  + v  1) 1  ;0 g: Otrzymali±my zatem wzór ogólny na rodzin¦ kopuª Claytona dla parametru  2 [ 1;1 )nf 0g: W przypadku, gdy parametr ! 0mo»emy mówi¢ o kopule, która posiada niezale»ne rozkªady brzegowe. Na poni»szych wykresach pokazane s¡ g¦sto±¢ rozkªadu kopuªy Claytona oraz 1000 elementowa próba losowa z kopuªy Claytona (w obu przypadkach parametr  = 5 ;rozkªadami brzegowymi s¡ standardowe rozkªady jednostajne). 16

a b Rysunek 1.4: Kopuªa Claytona (a) wykres g¦sto±ci, (b) próba losowa 1000 elementowa Kody z programu R generuj¡ce powy»sze wykresy znajduj¡ si¦ w zaª¡czniku 2A. 1.3.2 Kopuªa Gumbela Generator kopuªy Gumbela jest postaci [11]: '( t) = ( ln t)  ;  2[1;1 ): Jako pierwsze sprawdzimy, czy generator ten jest generatorem ±cisªym. Zatem '(0) = ( ln 0)  = 1; warto±¢ funkcji w punkcie 0wynosi 1;czyli otrzymali±my generator ±cisªy. W takim przypadku funkcja pseudo-odwrotna jest równa funkcji odwrotnej dla ka»dego t:Wyznaczmy wi¦c funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji ' '( t) = ( ln t)  ' ( t) 1  = ln t t = e ' ( t) 1  : Wyznaczyli±my funkcj¦ odwrotn¡ postaci ' 1  ( t) = e t1  i mo»emy wstawi¢ j¡ do wzoru na kopuª¦ (1.17). Zatem CGu  ( u; v ) = '[ 1] (' (u ) + '(v )) = ' 1 (( ln u) + ( ln v) ) = exp f(( ln u) + ( ln v) ) 1  g: Czyli otrzymali±my wzór na rodzin¦ kopuª Gumbela zale»n¡ od parametru 2 [1;1 ): W przy- padku, gdy warto±¢ parametru wynosi 1to otrzymujemy kopuª¦ o niezale»nych rozkªadach brze- gowych. Na poni»szych wykresach widzimy wykres g¦sto±ci kopuªy Gumbela oraz 1000 elementow¡ prób¦ losow¡ z tej kopuªy, dla obu wykresów przyj¦li±my = 5 oraz rozkªadami brzegowymi s¡ standardowe rozkªady jednostajne. 17

a b Rysunek 1.5: Kopuªa Gumbela (a) wykres g¦sto±ci, (b) próba losowa 1000 elementowa Kod dla programu R, z którego otrzymali±my powy»sze wykresy mo»na znale¹¢ w zaª¡czniku 2B. 1.3.3 Kopuªa Franka Generator dla rodziny kopuª Franka ma posta¢ [11]: '( t) = ln e t 1 e  1;  2(1 ;1 )nf 0g : Sprawdzimy, czy generator jest generatorem ±cisªym '(0) = ln e 0 1 e  1 = 1: Tak jak i dla kopuªy Gumbela warto±¢ funkcji w punkcie 0wynosi 1;zatem generator 'jest generatorem ±cisªym i funkcja pseudo-odwrotna jest równa funkcji odwrotnej. Wyznaczymy zatem funkcj¦ odwrotn¡: '( t) = ln e t 1 e  1 ' ( t) = ln e t 1 e  1 e ' ( t) = e t 1 e  1 ( e  1)e ' ( t) + 1 = e t ln[( e  1)e ' ( t) + 1] = ln e t t = ln[( e  1)e ' ( t) + 1] t = ln[( e  1)e ' ( t) + 1]  : Czyli funkcja odwrotna jest postaci ' 1  ( t) = 1  ln[( e  1)e t + 1] : 18

Tak wyznaczon¡ funkcj¦ mo»emy wstawi¢ do wzoru na kopuª¦ CF r  ( u; v ) = '[ 1] (' (u ) + '(v )) = ' 1 (' (u ) + '(v )) = ' 1 ln e u 1 e  1 ln e v 1 e  1 = ' 1 ln e  1 e u 1 ln e v 1 e  1 = ' 1 ln e  1 e u 1 e  1 e v 1 = ' 1 ln ( e  1)2 ( e u 1)( e v 1)  = 1  ln  1 + ( e  1)e ln ( e  1) 2 ( e u 1)( e v 1)  = 1  ln  1 + ( e  1) ( e u 1)( e v 1) ( e  1)2  = 1  ln  1 + ( e u 1)( e v 1) ( e  1)  : Otrzymali±my zatem wzór na kopuªy nale»¡ce do rodziny kopuª Franka w zale»no±ci od para- metru 2 (1 ;1 )nf 0g: Poni»sze wykresy przedstawiaj¡ g¦sto±¢ kopuªy oraz 1000-elementow¡ prób¦ losow¡, gdy za parametr przyj¦li±my warto±¢ 5oraz u»yli±my jednostajnych rozkªadów brzegowych. a b Rysunek 1.6: Kopuªa Franka (a) wykres g¦sto±ci, (b) próba losowa 1000 elementowa W zaª¡czniku 2C znajduje si¦ kod ze ±rodowiska R, dzi¦ki któremu otrzymali±my powy»sze wykresy. 19