Davis E. - Świat matematyki.pdf

Philip J. Davis, Reuben Hersh Elena Anne Marchisotto » Jest to jedna z najlepszych książek o matema­ tyce, autorstwa znanych matematyków amery­ kańskich, którzy z różnych punktów widzenia próbują odpowiedzieć na pytania: Jaka jest natura matematyki? Jak się matematykę tworzy? Jak się ją stosuje? Jak ją należy rozumieć? Jakie z niej płyną korzyści? Jakie przynosi szkody? Jakie jest jej znaczenie? Znajdziemy tu także fragmenty metodologiczne, zarys filozoficznych poglądów na matematykę od Platona do Lakatosa oraz przykłady współczesnej twórczości matematycznej. Nowe wydanie książki zawiera szereg zadań i prob­ lemów do samodzielnego rozwiązywania przez Czytelników. Publikacja przeznaczona jest dla matematyków, studentów, licealistów, nauczy­ cieli. Jest to pasjonująca lektura dla wszystkich miłośników matematyki. Infolinia: 0 801 351 929 Księgarnia internetowa PWN: www.pwn.com.pl W yd a w n ic tw o Naukowe PWN Biblioteka Raczyńskich 09F0000873 ISBN 6 3 - 0 1 - 1 3 5 4 0 - 3 9 788301 135409 09F0000873 9788301135409

Dane oryginału Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto The Mathematical Experience. Study Edition © 1995 Birkhäuser Boston, Cambridge MA, USA Projekt okładki i stron tytułowych Andrzej ,Przygodzki Redaktor Aldona Krawczyk ; W U F s W \ Tytuł dotowany przez Ministra Edukacji Narodowej<27^ Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA Warszawa 2001 Wydawnictwo Naukowe PWN SA ul. Miodowa 10, 00-251 Warszawa tel. 69 54321, e-mail: pwn@pwn.com.pl www.pwn.com.pl ISBN 83-01-13540-9 SPIS TREŚCI Przedmowa 9 Przedmowa do wydania drugiego 11 Wprowadzenie 13 Uwertura 15 1. Pejzaż matematyczny 19 Co to jest matematyka? 19 Gdzie znajduje się matematyka? 21 Społeczność matematyczna 21 Narzędzia rzemiosła 24 Jaka część matematyki jest obecnie znana? 28 Dylemat Ulama 31 Ile może być matematyki? 34 Dodatek A — Krótka tablica chronologiczna do roku 1910 35 Dodatek B — Porównanie klasyfikacji matematyki z lat 1868 i 1979 37 Problemy i zadania 38 2. Różnorodność doświadczenia matematycznego 41 Świadomość powszechna, indywidualna i zbiorowa 41 Idealny matematyk 42 Fizyk patrzy na matematykę 51 I. R. Szafarewicz i nowy neoplatonizm . 57 Nieortodoksyjność 59 Jednostka a kultura 64 Problemy i zadania 68 3. Problemy zewnętrzne 73 Dlaczego matematyka jest skuteczna? — Odpowiedź kon- wencjonalisty 73 Modele matematyczne 81 Użyteczność 83 1. Rozmaitość matematycznych użytków 83 2. O użyteczności matematyki dla matematyki 84 3. O użyteczności matematyki dla innych dziedzin nauko­ wych i technicznych 86 4. Matematyka czysta a stosowana 88 5. Od hardyizmu do matematycznego maoizmu 90 5

Spis treści Pod listkiem figowym 1. Matematyka na rynku 2. Matematyka a wojna 3. Mistycyzm liczbowy 4. Geometria hermetyczna 5. Astrologia 6. Religia Abstrakcja i teologia scholastyczna Problemy i zadania 4. Problemy wewnętrzne Symbole Abstrakcja Uogólnienie Formalizacja Obiekty i struktury matematyczne; istnienie Dowód Nieskończoność, róg obfitości matematyki Napięta struna Moneta Tyche Składnik estetyczny Wzór, ład i chaos Matematyka algorytmiczna a dialektyczna Dążenie do ogólności i abstrakcji. Chińskie twierdzenie o re­ sztach — studium przypadku Matematyka jako enigma Jedność w różnorodności Problemy i zadania 5. Wybrane rozdziały matematyki Teoria grup i klasyfikacja skończonych grup prostych Twierdzenie o liczbach pierwszych Geometria nieeuklidesowa Niecantorowska teoria mnogości Dodatek A - Metoda przekątniowa Cantora Analiza niestandardowa Analiza Fouriera Problemy i zadania 6. Nauczanie i uczenie się Wyznania nauczyciela matematyki Klasyczny kryzys rozumienia i dydaktyki Pólya’i rzemiosło odkrywania Tworzenie nowej matematyki: Zastosowanie heurystyki Lakatosa Estetyka porównawcza Nieanalityczne aspekty matematyki 6 Problemy i zadania 91 92 94 97 100 101 108 112 117 124 124 127 134 135 140 145 150 155 159 164 167 174 180 187 190 191 198 199 204 210 216 229 229 245 260 266 266 268 277 282 288 290 305 i Spis treści 7. Od pewności do omylności 309 Platonizm, formalizm, konstruktywizm 309 Filozoficzne poglądy aktywnego matematyka 311 Mit euklidesowy 312 Podstawy — znalezione i utracone 319 Formalistyczna filozofia matematyki 326 Lakatos i filozofia powątpiewania 332 Problemy i zadania 345 8. Rzeczywistość matematyczna 349 Hipoteza Riemanna 349 7t a n 355 Modele matematyczne, komputery i platonizm 360 Dlaczego mam wierzyć komputerowi? 365 Klasyfikacja skończonych grup prostych 371 Intuicja 374 Intuicja 4-wymiarowa 382 Prawda o obiektach wyimaginowanych 387 Problemy i zadania 392 Glosariusz 395 Bibliografia 399 Skorowidz 411

PRZEDMOWA Najstarsze tabliczki matematyczne, jakie do nas dotrwały, są datowane na rok 2400 przed Chr., nie ma wszakże powodu wątpić, że bodźce do tworzenia i stosowania matematyki ist­ niały od początku cywilizacji. W okresie czterech czy pięciu tysiącleci pojawiły się pewne metody i pojęcia powiązane z na­ szym życiem codziennym, a znane jako matematyka. Jaka jest natura tej matematyki? Jakie jest jej znaczenie? Czym są jej obiekty? Jaka jest jej metodologia? Jak się ją tworzy? Jak się ją stosuje? Jak się ona zgadza z mnogością ludzkich doświadczeń? Jakie z niej płyną korzyści? Jakie przynosi szkody? Jakie można jej przypisywać znaczenie? Odpowiedzi na te trudne pytania wcale nie ułatwia fakt, iż materiał jest tak obszerny, a mnogość powiązań tak duża, że pojedynczy człowiek zwyczajnie nie jest w stanie pojąć tego wszystkiego, a tym bardziej streścić i zawrzeć to streszczenie między okładkami książki przeciętnej wielkości. Aby się zatem tej wielkiej ilości materiału nie przestraszyć, pomyślmy o mate­ matyce inaczej. Matematyka była przedmiotem ludzkiej aktyw­ ności od tysięcy lat. W pewnym niewielkim stopniu matematy­ kiem jest każdy z nas i każdy matematykę świadomie uprawia. Kupowanie na rynku, odmierzanie pasa tapety czy nakładanie regularnych wzorów na ceramikę jest uprawianiem matematy­ ki. Co więcej, w pewnym niewielkim stopniu każdy jest także filozofem matematyki. Komu zdarza się krzyknąć „Przecież liczby nie kłamią!” — staje w jednym szeregu z Platonem i Lakatosem. Uzupełnieniem sporej populacji tych, którzy stosują mate­ matykę na skromną skalę, jest niewielka grupa ludzi będących zawodowymi matematykami. Uprawiają oni matematykę, roz­ wijają ją, uczą jej, tworzą i stosują w wielu różnych sytuacjach. Powinna istnieć możliwość objaśnienia nieprofesjonalistom, co ci ludzie uprawiają, jak o tym mówią i dlaczego reszta świata powinna wspierać ich wysiłki. Takie w skrócie zadanie sobie postawiliśmy. Książka nie zamierza przedstawiać w sposób systematyczny i wyczerpujący żadnego fragmentu matematyki współczesnej czy klasycznej. Zmierza ona natomiast do przed-

Przedmowa stawienia istoty matematyki, jej historii i filozofii, a także tego, jak powstaje wiedza matematyczna. Jej celem jest raczej uchwy­ cenie różnorodności doświadczenia matematycznego. Książka nie powinna być traktowana jako kompresja, lecz raczej jako impresja. To nie jest książka matematyczna, ale o matematyce. Podobnie nie jest to książka historyczna czy filozoficzna, aczkolwiek będziemy omawiać i historię, i filozofię matematy­ ki. Wynika stąd, że czytelnik powinien posiadać niewielką wstępną wiedzę o tych sprawach, a także ziarenko zaintereso­ wania, które można by pielęgnować. Dysponując takim opar­ ciem, przeciętny czytelnik nie powinien mieć żadnych trudności z przebrnięciem przez większą część książki. W niektórych jednak miejscach wprowadziliśmy tematy specjalne, zwracając się do specjalisty, który matematykę stosuje lub tworzy. Wtedy czytelnik może się czuć jak gość zaproszony na rodzinny obiad. Kiedy po uprzejmej rozmowie na ogólne tematy rodzina kieru­ je uwagę na sprawy ją ściśle obchodzące, swoje radości i troski, gość pozostawiony jest samemu sobie, choć zafrapowany. W takich miejscach czytelnik postąpi słusznie, jeśli niefrasob­ liwie przyspieszy. Większość esejów tej książki może być czytana niezależnie od pozostałych. W książce pisanej przez dwóch ludzi niezbędny jest pewien komentarz związany z używaniem słówka „ja” . W niektórych przypadkach będzie oczywiste, który z autorów owo „ja” pisał. W żadnym jednak przypadku błędna identyfikacja nie przynie­ sie większej szkody, każdy bowiem z autorów w zasadzie podziela poglądy drugiego. PRZEDMOWA DO WYDANIA DRUGIEGO Pierwsze wydanie Świata matematyki ukazało się w 1981 roku*. W owym czasie, a więc zaledwie kilkanaście lat temu, panowało powszechne przekonanie, że przybliżenie współczes­ nej matematyki inteligentnemu niematematykowi jest niemoż­ liwe. Od tego czasu opublikowano jednak wiele popularnych książek o matematyce współczesnej, a Chaos Jamesa Gleicka okazał się nawet trwałym bestsellerem**. Banałem jest stwierdzenie, że w technice i wynalazczości wiedza o tym, co jest możliwe, to najważniejszy składnik powodzenia innowacji. Być może pierwsze wydanie Świata matematyki zmieniło poglądy ludzi na granice możliwości przedstawiania zaawansowanej matematyki współczesnej. Uważni czytelnicy uznali tę książkę za pracę filozoficzną z zakresu humanistycznej filozofii matematyki. Była niezwykła, „dysydencka” (Philip Kitcher), w istocie bez kontaktu z oficjal­ ną, akademicką filozofią matematyki. W ciągu wszakże ostat­ nich piętnastu lat humanistyczna filozofia matematyki rozkwit­ ła, są już antologie, sympozja, czasopismo. Ówczesny odsz- czepieniec może w najbliższych latach znaleźć się w głównym nurcie. Pierwsze wydanie Świata matematyki było książką popular­ ną, dostępną w księgarniach, a nie podręcznikiem, oferowanym profesorom. Otrzymujemy jednak stale sygnały, że posługują się nią nauczyciele college’ów w Stanach Zjednoczonych, Euro­ pie, Australii, Hongkongu, Izraelu. Używa się jej w dwojaki sposób: w uczelniach ogólnokształcących jako „matematyki dla humanistów” oraz w uczelniach kształcących przyszłych nauczycieli matematyki, zwłaszcza dla szkół średnich. Przy nauczaniu matematyki powszechnie zakłada się, że tej dyscypliny nie można uprawiać biernie, uczy się jej bowiem przez ćwiczenie, zwłaszcza rozwiązywanie zadań. Jak wszystkie * Autorzy mają oczywiście na myśli wydanie angielskie. Pierwsze wydanie polskie ukazało się w 1994 r. (przyp. tłum.). ** Wyszedł i w Polsce: James Gleick, Chaos. Narodziny nowej nauki, Zysk i S-ka, Poznań 1996 (przyp. tłum.). 11

Przedmowa do wydania drugiego truizmy, także ten jest tylko częściowo prawdziwy. Pogląd, że kształcenie matematyczne polega wyłącznie na ćwiczeniu — bez myślenia, bez rozmowy, bez chwili kontemplacji — wy­ daje się okropny. Artyście nie zabrania się oceniania, od czasu do czasu, dzieła sztuki — raczej przeciwnie. Pozostając wi­ dzem, nie przyswoisz sobie umiejętności praktycznych, możesz jednak nabrać dobrego smaku, nie mówiąc o innych rzeczach. Pierwsze wydanie zapraszało czytelnika do oceniania mate­ matyki, kontemplowania jej, udziału w rozmowie na jej temat. Nie zawierało żadnych ćwiczeń. Jeśli posługiwał się nią nau­ czyciel, musiał ten brak uzupełniać. Zarówno dla nauczyciela jak i dla ucznia bardziej odpowiednie będzie niniejsze wydanie studyjne, starające się o zachowanie równowagi między ćwicze­ niem, a myśleniem. Jest w nim sporo zadań w większości ułożonych przez profesor Elenę Anne Marchisotto, która zara­ zem dołączyła liczne tematy do dyskusji, problemy do op­ racowywania i bibliografię. Dodaliśmy także „projekty” : spój­ ne szeregi zadań o rosnącym stopniu trudności, od łatwych do trochę trudniejszych, dostarczające dodatkowej przyjemności przy ćwiczeniach i podkreślające pewne cechy matematyki. Chociaż Standardy Krajowej Rady Nauczycieli Matematyki ukazały się już po pierwszym wydaniu Świata Matematyki, nasz zamysł okazał się jednak w dużym stopniu z nimi zgodny. Stosowaliśmy się więc do Standardów, nim zostały one napisa­ ne, a wydanie studyjne idzie jeszcze dalej w tym kierunku. „Krytyczne myślenie” i „rozwiązywanie zadań” nie są już tylko cechami matematyki. W amerykańskich klasach stały się one obiegowymi hasłami. Studyjne wydanie Świata ma­ tematyki jest elementem trendu dominującego w amerykańskiej edukacji. WPROWADZENIE D e d y k o w a n e M a r k o w i K a c o w i „oh philosophie alimentaire!” — J.P. Sartre Na przełomie stuleci szwajcarski historyk Jakob Burckhardt, który w przeciwieństwie do większości historyków lubił od­ gadywać przyszłość, podzielił się ze swym przyjacielem Fryde­ rykiem Nietzschem przewidywaniem, że wiek dwudziesty bę­ dzie „wiekiem skrajnych uproszczeń” . Przepowiednia Burckhardta okazała się przerażająco trafna. Dyktatorzy i demagodzy wszelkiej maści pozyskiwali zaufanie mas, obiecując, że po wojnie, która zakończy wszystkie wojny, przyjdzie życie pełne szczęścia i dostatku. Filozofowie propo­ nowali śmiałe redukcje złożoności istnienia do mechaniki sprę­ żystych kul bilardowych; inni, bardziej wyrafinowani, uważali, że życie jest językiem, a ten język z kolei niczym więcej niż sznurami paciorków utrzymywanych razem zwodniczymi spój­ nikami fregeańskiej logiki. Artyści, którzy z całą powagą pre­ zentowali czerwono-biało-niebieskie szachownice, osiągają dziś w Sotheby najwyższe ceny. Używanie słów „mechanicznie”, „automatycznie” i „niezwłocznie” jest obecnie przyjmowane przez czarodziejów z Madison Avenue jako podstawowe prawo reklamy. Nawet najtęższe umysły nauki przez duże „N ” zostały do­ tknięte pokusą nadmiernego upraszczania. Fizyka ogarnięta jest poszukiwaniem jednego jedynego prawa, które pewnego bliskiego już dnia połączy wszystkie siły: grawitację i elektrycz­ ność, oddziaływania słabe i mocne, a także całą resztę. Bio­ lodzy są dziś zahipnotyzowani perspektywą odczytania tajem­ nicy życia z podwójnej spirali dużych cząsteczek. Z kolei psycholodzy zalecają seksualny liberalizm, cudowne tabletki i pierwotne wrzaski jako środek na uporczywą depresję, kaz­ nodzieje zaś przedstawiają tańszą ofertę dołączenia do dzięk­ czynnego chóru powtórnie narodzonych. Jest zasługą matematyków, że najwolniej dołączali do tego ruchu. Matematyka, podobnie jak teologia i wszystkie wolne twory umysłu, jest posłuszna nieubłaganym prawom wyobraźni i wszystkie dzisiejsze Pollyanny niewiele pomogą w rozstrzyg­ nięciu prawdziwości jakiejś hipotezy. Można obłudnie zgadzać 13

Wprowadzenie się z Kartezjuszem czy Grothendieckiem, którzy pragnęli zre­ dukować geometrię do algebry, albo z Russellem czy Gentze- nem, którzy domagali się, by matematyka stała się logiką, my jednak wiemy, że talent jednych matematyków objawia się bardziej w rysowaniu figur, drugich w żonglerce symbolami, a jeszcze innych w odkrywaniu luk w argumentacji. Mimo to, kiedy chodzi o zrozumienie natury własnej działal­ ności lub miejsca matematyki w świecie, niektórzy matematycy ulegają panującym dzisiaj tendencjom do upraszczania. To zrozumiałe, że nikt nie lubi informowania go o tym, co rzeczy­ wiście robi, albo gdy jego prywatne nawyki w pracy stają się przedmiotem analizy i opisu. Często słyszymy, że matematyka polega głównie na „dowo­ dzeniu twierdzeń” . Czy zajęcie pisarza polega głównie na „pisaniu zdań” ? Praca matematyka to przeważnie plątanina zgadywania, analogii, myślenia życzeniowego i frustracji; do­ wodzenie, dalekie od istoty odkrywania, jest najczęściej sposo­ bem upewnienia się, że umysł nie płata nam figla. Niewielu ludzi przed Davisem i Hershem, jeśli w ogóle byli tacy, ośmie­ liło się rzecz tę ujawnić. Twierdzenia nie są dla matematyki tym, czym kolejne dania dla posiłku, analogia z jedzeniem jest błędna. Opanować matematykę, to opanować nieuchwytną perspektywę, to przyswoić sobie biegłość wirtuoza, który nie może przecież opierać swojej sztuki na regułach. Twierdzenia geometrii nie mają się do dziedziny geometrii jak elementy do zbioru. Związek jest subtelniejszy i Davis wraz z Hershem opisali go nam z rzadko spotykaną uczciwością. Po Davisie i Hershu trudno będzie utrzymywać, że matema­ tyka jest „grą szklanych paciorków” . Tajemnica matematyki, co szeroko uzasadniają nasi autorzy, polega na tym, że jej tezy, biorące początek w igraszkach umysłu, znajdują zadziwiające zastosowania praktyczne. Davis i Hersh wybrali drogę raczej opisu tej tajemnicy niż jej wyjaśnienia. Udostępnienie matematyki wykształconemu laikowi, przy utrzymaniu wysokich standardów naukowych, było zawsze uważane za zdradliwą nawigację między Scyllą lekceważenia przez profesjonalistów a Charybdą powszechnego niezrozumie­ nia. Davis i Hersh żeglowali przez tę cieśninę pod pełnymi żaglami. Rozpoczęli dyskusję nad doświadczaniem matematyki, istotną dla jej przetrwania. Patrząc z rufy ich statku, oddycha­ my z ulgą, widząc oddalający się wir skrajnych uproszczeń. 14 G ia n - C arlo R ota 9 sierpnia 1980 ,,Poznanie geometryczne dotyczy tego, co istnieje wiecznie.”* PLATON, Państw o, V II, 527 „To tworzywo czasem jasne ... a czasem niewyraźne ... które jest ... matematyką”. I m r e L a k a t o s , 1922 — 1974 „To co zostało ustalone, uporządkowane, urzeczowione, nigdy nie będzie w stanie objąć całej prawdy: życie się przeleje przez krawędź każdego naczynia.” Bo r y s P a s t e r n a k , 1 8 9 0 -1 9 6 0 UWERTURA Jeszcze pięć lat temu byłem zwyczajnym matematykiem. Nie podejmowałem się ryzykownych i tak mało ortodoksyjnych rzeczy jak pisanie książki podobnej do tej. Miałem swoją dziedzinę — równania różniczkowe cząstkowe — i w niej pozostawałem, co najwyżej błądząc czasem poza jej granicami po dziedzinach przyległych. Mój sposób myślenia i moje praw­ dziwe życie intelektualne opierały się na kategoriach i meto­ dach analizy, które przyswoiłem sobie wiele lat temu, jeszcze w czasie studiów. Ponieważ nie wychylałem się daleko poza te kategorie i metody, miałem jedynie niejasną ich świadomość. Były częścią sposobu, w jaki widziałem świat, a nie częścią świata, na który patrzyłem. Mój awans zależał od moich badań i publikacji we własnej dziedzinie. Inaczej mówiąc, były to ważne rekompensaty za opanowanie punktu widzenia i sposobów myślenia, które dzie­ lili ze mną inni pracujący w mojej dziedzinie i mający podobne do mego przygotowanie. Ich osąd decydował o wartości tego, co robiłem. Nikt inny nie miał po temu kwalifikacji i jest wielce wątpliwe, czy ktokolwiek poza nimi byłby tym zainteresowany. Moje uwolnienie się z takiej postawy, tzn. rozpoznanie jej, uświadomienie sobie, że jest ona tylko jednym z wielu sposo­ bów patrzenia na świat, jej przyjęcie wedle woli lub odrzucenie, porównanie jej z innymi sposobami patrzenia na świat i ocenia- * Por. Platona Państwo z dodaniem siedmiu Ksiąg Praw. Przełożył oraz wstępem, objaśnieniami i ilustracjami opatrzył Władysław Witwicki, t. I, PWN, Warszawa 1958. Pozostałe cytaty z angielskiego oryginału tłumaczył Roman Duda (przyp. red.).

Uwertura nie — wcale nie było konieczne w mojej pracy czy karierze. Przeciwnie, takie nieortodoksyjne i wątpliwe przedsięwzięcia w najlepszym razie mogły się wydać głupim marnowaniem cennego czasu, a w najgorszym — niecnym babraniem się w tak wątpliwych i podejrzanych sprawach jak psychologia, socjologia czy filozofia. A jednak stało się faktem, że doszedłem do punktu, w którym moje zadziwienie i fascynacja sensem i celowością, jeśli tak wolno powiedzieć, tej dziwnej aktywności, którą nazywamy matematy­ ką, stała się równa, a może i silniejsza od fascynacji samym uprawianiem matematyki. Matematyka ukazuje mi się jako świat nieskończenie złożony i tajemniczy, eksploracja zaś tego świata stała się nałogiem, z którego mam nadzieję nigdy się nie wyleczyć. W tym wszystkim jestem matematykiem jak inni. Dodatkowo rozwinąłem jednak drugą jeszcze połowę samego siebie, która obserwuje tego matematyka ze zdumieniem, a jeszcze bardziej jest zafascynowana tym, że taka osobliwa istota i osobliwa aktywność pojawiły się na tym świecie i utrzymują się przez kilka tysięcy lat. Początki tego sięgają dnia, kiedy zdecydowałem się w końcu na wykład z podstaw matematyki. Jest to wykład głównie dla zaawansowanych studentów, na trzecim lub czwartym roku studiów. Moim celem przy podejmowaniu się takiego wykładu, jak i innych, które prowadziłem przez lata, było przyswojenie jego treści samemu. W owym czasie wiedziałem, że spór na temat podstaw ma swoją historię. Wiedziałem, że były trzy główne „szkoły” : logicystyczna związana z Bertrandem Russel­ lem, formalistyczna prowadzona przez Dawida Hilberta i kon- struktywistyczna L. E. J. Brouwera. Miałem ogólne pojęcie o nauczaniu każdej z tych trzech szkół, ale nie miałem żadnego wyobrażenia, z którą z nich się zgadzam, jeśli w ogóle. Miałem też jedynie niejasny pogląd na to, czym się te trzy szkoły stały w pół wieku po utworzeniu. Liczyłem na to, że podejmując się takiego wykładu, będę miał sposobność poczytania i postudiowania podstaw matema­ tyki, a w rezultacie wyrobienia sobie własnego poglądu na sporne kwestie. Nie oczekiwałem, że stanę się badaczem w za­ kresie podstaw matematyki, podobnie jak nie stałem się teorio- liczbowcem po wykładzie z teorii liczb. Ponieważ moje zainteresowanie podstawami było bardziej filozoficzne niż techniczne, spróbowałem zaplanować wykład tak, by mogli nań uczęszczać słuchacze bez specjalnego przygo­ towania. W szczególności liczyłem na przyciągnięcie studentów 16 filozofii, a także przyszłych nauczycieli matematyki. Jak się Uwertura okazało, było kilku takich studentów, ale ponadto przyszli studenci inżynierii elektrycznej, informatyki i innych kierun­ ków. Mimo to studenci matematyki stanowili większość. Zna­ lazłem kilka dobrze wyglądających podręczników i zacząłem. Stając przed mieszanym audytorium — złożonym ze studen­ tów matematyki, przyszłych nauczycieli i adeptów filozofii, z zamiarem wykładania im podstaw matematyki — znalazłem się w położeniu nowym i dziwnym. Miałem już za sobą jakieś piętnaście lat wykładania matematyki, na wszystkich pozio­ mach i w różnych zakresach, ale we wszystkich tych wykładach moim zadaniem nie było mówienie o matematyce, ale tworzenie matematyki. Teraz moim celem nie było jej tworzenie, ale właśnie mówienie o niej. Było to coś innego i budziło lęk. W miarę jak upływał semestr, stało się dla mnie jasne, że tym razem jest to rzeczywiście inna sprawa. Wykład był sukcesem pod jednym względem, tym mianowicie, że było tam mnóstwo interesującego materiału, mnóstwo okazji do pobudzających dyskusji i niezależnych studiów, a dla mnie także sporo do przyswojenia sobie takich rzeczy, których istnienia wcześniej nie podejrzewałem. Pod innym wszakże względem mój pomysł, jak się przekonałem, okazał się beznadziejny. Zwykły wykład matematyki ma program stosunkowo jasny. Mamy problem do rozwiązania albo sposób obliczania do objaśnienia, albo twierdzenie do udowodnienia. Główną pracę wykonuje się przez pisanie, zazwyczaj na tablicy. Kiedy prob­ lemy są rozwiązane, twierdzenia dowiedzione, rachunki zakoń­ czone, wówczas wykładowca i słuchacze wiedzą, że wykonali zadanie dnia. Oczywiście, nawet i w takiej zwyczajnej sytuacji zawsze istnieje możliwość czy prawdopodobieństwo, że zajdzie coś nieoczekiwanego. Nieprzewidziana trudność, czy nieoczeki­ wane pytanie jakiegoś studenta może spowodować, że kierunek wykładu odchyli się od tego, co zamierzał wykładowca. Każdy wszakże wie, co do niego należy, a także wie, że główne rzeczy zostały przez ciebie napisane. Słowa zaś mówione, ze strony zarówno audytorium jak i wykładowcy, miały znaczenie tylko o tyle, o ile pomagały zrozumieć sens tego, co zostało napisane. Zaczynając wykład o podstawach matematyki, sformułowa­ łem pytania, które wydały mi się podstawowe i na które spodziewałem się znaleźć pod koniec semestru odpowiedź, a przynajmniej jakieś wyjaśnienie. Co to jest liczba? Co to jest zbiór? Co to jest dowód? Co wiemy o matematyce? I jak to wiemy? Co to jest „ścisłość matematyczna” ? Co to jest „intuicja matematyczna” ? 17

Uwertura Kiedy sformułowałem te pytania, zdałem sobie sprawę, że nie znam na nie odpowiedzi. Oczywiście nic w tym zadziwiają­ cego, na takie bowiem niejasne pytania, pytania „filozoficzne”, nie można oczekiwać tak zdecydowanych odpowiedzi, do ja­ kich dążymy w matematyce. W odniesieniu do takich pytań zawsze będą istniały różnice poglądów. Martwiło mnie jednak to, że nie wiedziałem, jaka jest moja własna opinia w tych sprawach. Co gorsza, nie miałem pod­ stawy czy kryterium, które pozwoliłyby mi mierzyć różne opinie, bronić lub atakować jakiś pogląd. Nawiązywałem rozmowy z innymi matematykami na temat dowodu, wiedzy, matematycznej rzeczywistości i okazało się, że mój stan mglistej niepewności był typowy. Ale odnalazłem także silne pragnienie rozmów i dyskusji na temat naszych osobistych doświadczeń i wewnętrznych przekonań. Ta książka jest częścią dziedzictwa tych lat przemyśleń, zbierania opinii i dyskusji. 1 PEJZAŻ MATEMATYCZNY CO TO JEST MATEMATYKA? Naiwna, ale nadająca się do słownika i do początkowego rozumienia rzeczy definicja głosi, że matematyka jest nauką o liczbie i przestrzeni. Trochę ją rozszerzając, można by dodać, że matematyka traktuje także o symbolizmie odnoszącym się do liczby i do przestrzeni. Definicja ta, mająca za sobą historyczną tradycję, posłuży nam za punkt wyjścia. Jednym z celów tej książki jest takie jej modyfikowanie i poszerzanie, które będzie odzwierciedlać roz­ wój matematyki w minionych stuleciach, a także poglądy rozmaitych szkół matematycznych na to, czym powinna ona być. W swojej najprostszej postaci nauki o liczbie i przestrzeni znane są jako arytmetyka i geometria. Arytmetyka, jak się jej uczy w szkole, traktuje o różnych rodzajach liczb i o regułach działań na tych liczbach, a więc o dodawaniu, odejmowaniu itd., a także o takich sytuacjach z codziennego życia, w których działania te znajdują zastosowanie. Geometrii uczy się w starszych klasach i częściowo odnosi się ją do problemów związanych z pomiarami w przestrzeni. Jeśli narysuję jeden odcinek, a potem drugi, to jak odległe od siebie będą ich końce? Ile centymetrów kwadratowych zawiera prostokąt mający 4 cm długości i 8 cm szerokości? Geometria odnosi się także do tych własności przestrzeni, które pociągają estetycznie lub zaskakują. Uczy nas, na przykład, że w każdym równoległoboku przekątne dzielą się na połowy, a w każdym trójkącie środkowe przetną się w jednym punkcie. Uczy także, że podłogę można wyłożyć trójkątami równobocznymi lub sześciokątami foremny­ mi, ale nie można tego zrobić za pomocą pięciokątów foremnych. Jednakże geometria, jeśli jej uczyć zgodnie z wizją Euklidesa z około 300 r. przed Chr., ma jeszcze jeden niezwykle istotny aspekt. Można ją przedstawić jako naukę dedukcyjną. Za­ czynając od niewielkiej liczby uznawanych za oczywiste ele- iq

mentarnych pojęć oraz opierając się na kilku wyraźnie okreś­ lonych regułach matematycznego i logicznego postępowania, geometria euklidesowa wznosi gmach dedukcji o rosnącej zło­ żoności. W nauczaniu geometrii elementarnej kładzie się nacisk nie tylko na jej aspekt przestrzenny czy poglądowy, ale także na metodologię, zgodnie z którą od założenia przechodzi się do tezy. Ten proces dedukcyjny nazywa się dowodzeniem. Geomet­ ria euklidesowa, która była pierwszym przykładem sformalizo­ wanego systemu dedukcyjnego, stała się modelem wszystkich takich systemów. Geometria była wielkim poligonem doświad­ czalnym myślenia logicznego, a naukę geometrii traktowano, słusznie lub nie, jako podstawę do ćwiczenia się ucznia w takim myśleniu. Chociaż starożytnym matematykom dobrze były znane de­ dukcyjne aspekty arytmetyki, nie kładziono na nie nacisku ani w nauczaniu, ani w tworzeniu nowej matematyki aż do XIX wieku. W istocie, jeszcze w latach pięćdziesiątych XX wieku znane były opinie nauczycieli licealnych, uginających się pod presją „nowej matematyki” , że geometria ma „dowody”, podczas gdy arytmetyka i algebra ich nie mają. W okresie rosnącego nacisku na dedukcyjne aspekty wszyst­ kich gałęzi matematyki C. S. Peirce ogłosił w połowie XIX wieku, że „matematyka jest nauką dochodzenia do koniecz­ nych wniosków” . Wniosków o czym? O liczbie? O przestrzeni? Definicja ta nie określa zakresu matematyki, a zatem matema­ tyka mogłaby traktować o czymkolwiek, byleby tylko jako całość trzymała się schematu założenie —dedukcja —teza. Jak zauważył Sherlock Holmes w rozmowie z Watsonem (Znak czterech), „Śledztwo jest, a raczej powinno być, nauką ścisłą i powinno się do niego podchodzić w ten sam zimny i bezuczu- ciowy sposób. Usiłując zabarwić je romantyzmem, uzyskałeś efekt podobny do tego, jakbyś próbował historię miłosną lub porwanie wpleść w piąty postulat Euklidesa.” Conan Doyle stwierdza więc ironicznie, że śledztwo kryminalne może być całkiem dobrze uważane za gałąź matematyki i Peirce by się z tym zgodził. Definicja matematyki się zmienia. Każde pokolenie, a w po­ koleniu każdy myślący matematyk, tworzy definicję odpowia­ dającą jego poglądom. Nim dojdziemy do końca tej książki, zbadamy szereg różnych określeń. Pejzaż matematyczny 20 Społeczność matematyczna Dalsze lektury (patrz bibliografia) A. Alexandroff, A. Kolmogoroff, M. Lawrentieff; R. Courant, H. Robbins; T. Dantzig; H. Eves, C. Newsom; M. Gaffney, L. Steen; N. Goodman; E. Kasner, J. Newman; R. Kershner, L. Wilcox; M. Kline [1972]; A. Kol­ mogoroff; J. Newman; E. Snapper; E. Stabler; L. Steen GDZIE ZNAJDUJE SIĘ MATEMATYKA? Gdzie jest miejsce matematyki? Gdzie ona istnieje? Oczywiś­ cie na zadrukowanej stronicy, a przed pojawieniem się druku — na tabliczkach i papirusach. Oto książka matematyczna, weź ją do ręki: masz dotykalny zapis matematyki jako intelek­ tualnego przedsięwzięcia. Najpierw musi jednak ona zaistnieć w ludzkich umysłach, półka z książkami nie tworzy bowiem matematyki. Matematyka istnieje w notatkach z wykładów, pamięci komputerów, drukowanych obwodach. Czy powinno się dodać, że istnieje w przyrządach matematycznych, takich jak liniały czy kasy sklepowe, a także, jak sądzą niektórzy, w głazach Stonehenge? Czy trzeba powiedzieć, że tkwiąc w ge­ nach słonecznika, sprawia, iż jego nasiona układają się w spira­ le logarytmiczne i z pokolenia na pokolenie przekazują infor­ mację matematyczną? Czy trzeba stwierdzić, że istnieje ona na ścianie, na którą oprawa lampy rzuca paraboliczny cień? A może wierzymy, że to wszystko jest jedynie złudnym przeja­ wem prawdziwej matematyki, istniejącej — jak twierdzili nie­ którzy filozofowie — wiecznie i niezależnie od istniejącego wszechświata, niezależnie od wszystkich potencjalnie istnieją­ cych wszechświatów? Czym jest wiedza, matematyczna lub inna? W koresponden­ cji z autorem sir Alfred Ayer sugeruje, że jednym z naczelnych marzeń filozofii jest „zgodzić się na kryterium decydowania, co istnieje”, do czego moglibyśmy dodać „i decydowania, gdzie to jest” . SPOŁECZNOŚĆ MATEMATYCZNA Nie ma chyba kultury, choćby najbardziej prymitywnej, w której nie byłoby jakiejś matematyki. Główny nurt matema­ tyki zachodniej, jako pewnego systematycznego dążenia, wziął swój początek w Egipcie i Mezopotamii, skąd przeniknął do Grecji i grecko-rzymskiego świata. Na około pięćset lat po 21

Pejzaż matematyczny François Vieta 1540-1603 Rene Descartes (Kar- tezjusz) 1596 —1650 22 upadku Rzymu żar twórczości matematycznej wygasł w Euro­ pie niemal całkowicie, trwając jedynie, jak się uważa, w Persji. Po stuleciach bezczynności rozbłysnął ponownie w świecie islamu, a stamtąd przez Sycylię i Włochy rozprzestrzenił się na całą Europę. Zwięzła chronologia może wyglądać tak: Egipt: od 3000 do 1600 przed Chr. Babilon: od 1700 do 300 przed Chr. Grecja: od 600 do 200 przed Chr. Świat grecko-rzymski: od 150 przed Chr. do 525 po Chr. Islam: od 750 do 1450 po Chr. Zachód: od 1100 do 1600 po Chr. Czasy współczesne: od 1600 do dzisiaj. Z innych nurtów aktywności matematycznej wymieńmy: chiński, japoński, hinduski, inko-aztecki. Przedmiotem badań i hipotez pozostają związki między matematyką wschodnią a zachodnią. Dzisiaj nową matematykę tworzy niemal każdy kraj na świecie. Nawet dopiero powstające narody dążą do wprowa­ dzenia na swoich uniwersytetach współczesnych programów matematyki, a jako znamię swojej świetności traktują własną aktywność badawczą. W odróżnieniu od względnej izolacji, jaka istniała między wczesną matematyką wschodnią a zachodnią, matematyka dzisiejsza jest jedna. Pracuje się nad nią jawnie i otwarcie, a skrytość, praktykowana przez matematyków renesansu i ba­ roku, prawie zanikła. Istnieje szeroka, międzynarodowa wy­ miana publikacji, krajowe i międzynarodowe otwarte spot­ kania, a także wymiana uczonych i studentów. Gwoli prawdy trzeba jednak przyznać, że w czasie wojny istniały pewne ograniczenia informacji. Istnieje także spora literatura dotycząca kryptografii matematycznej, która z oczy­ wistych powodów nie jest ogólnie dostępna. W przeszłości różni ludzie zajmowali się matematyką. Tho­ mas Bradwardine (1325) był arcybiskupem Canterbury, Uług Beg — ze swoimi tablicami trygonometrycznymi — był wnu­ kiem Tamerlana, Luca Pacioli (1450) był mnichem, Ferrari (1548) — poborcą podatkowym, Cardano (1550) — profeso­ rem medycyny, Vieta (1580) — prawnikiem tajnej kancelarii królewskiej, van Ceulen (1610) — nauczycielem szermierki, Fermat (1635) — prawnikiem. Wielu matematyków, jak John Dee, Kepler, Kartezjusz, Euler, część swoich dochodów za- Spoleczność matematyczna Wyjaśnienie'. Rysunek przedstawia glinianą tabliczkę i rekon­ strukcję jej zapisu. Podajemy tłumaczenie pierwszych dwunastu wierszy, wiersz po wierszu. Używana w tłumaczeniu notacja 3;3,45 oznacza 3+ 3/60 + 45/3600 = 3,0625. We współczesnej terminologii problem z tabliczki jest następujący: dane x+ y oraz xy, znaleźć xiy. Rozwiązanie: x + y l f x + y \ 2 x,y = - r i h r -w y ­ wdzięczało poparciu korony, a niektórzy nosili nawet tytuł Mathematicus. Aż do około 1600 r. matematyk mógł zarobić trochę grosza, stawiając bogaczom horoskopy lub pisząc magi­ czne formułki. Także teraz nikt nie broni zamożnemu człowiekowi po­ święcać się matematyce w odosobnieniu, jak wtedy, gdy była ona arystokratyczną rozrywką. Jednakże takie zajęcie nie skut­ kuje już dzisiaj twórczymi efektami. Nie wspierają też matema­ tyki, jak to czyniły dawniej, ani kościół, ani monarchia. W minionym stuleciu głównym naszym sponsorem były uniwersytety. Nie obciążając go w pełni, uniwersytet zachęca Tak wyglądała mate­ matyka w roku 1700 przed Chr. Gliniana tabliczka z pismem klinowym po­ chodzi z południowego Iraku. Dwa ukazane na niej problemy są przed­ stawione w sposób zgo­ dny ze standardową w babilońskiej matematy­ ce procedurą dla rów­ nań kwadratowych. 1 9 (gin) jest srebro (całkowity koszt) za kila; dodałem długość i szerokość i (otrzy­ małem) 6;30 (GAR); *GARjest (głębokością), 2 10 gin (objętość) cena, 6 śe (srebro) za­ plata. Jaka jest długość (i) jego szerokość? 3 Kiedy wykonujesz (działania), weź odwro­ tność zapłaty, 4przemnóż przez 9 gin (całkowity koszt) srebra, otrzymasz 4,30, 5przemnóż 4,30 przez cenę, otrzymasz 45, 6weź odwrotnośćjego głębokości, przemnóż przez 45, otrzymasz 7;30, I podziel na połowę długość i szerokość, które dodałem razem, otrzymasz 3;15, 8podnieś do kwa­ dratu 3;15, otrzymasz 10;33,45, 9 odejmij 7;30 od 10;33,45, 10 otrzymasz 3;3,45, weź z tego pierwiastek kwadratowy, II otrzymasz 1;45, dodaj to do jednego, odejmij od drugiego, 12 otrzymasz dłu­ gość (oraz) szerokość. 5 (GAR) jest długo­ ścią, 1 j GAR jest sze­ rokością. (Za zgodą: Prof. A .J. Sa­ chs, z książki: O. Neugebauer, A .J. Sachs, Mathematical Cu­ neiform Texts.)

Pejzaż matematyczny wykładowcę do uprawiania badań matematycznych. Większość matematyków jest dzisiaj wspierana, pośrednio lub bezpośred­ nio, przez uniwersytety, przez korporacje takie jak IBM, czy przez rząd federalny, który w 1977 r. wydal 130 milionów dolarów na różnego rodzaju matematykę. Przyjmując, że wszystkie dzieci uczą się trochę matematyki i że pewna niewielka jej część znajduje się w codziennym użyciu, można by powiedzieć, że społeczność matematyczna i społeczeństwo to jedno i to samo. Na wyższym jednak poziomie praktyki, gdzie matematykę się tworzy i przekazuje, jest to społeczność stosunkowo mała. Łączna lista członków American Mathematical Society, Mathematical Association of America i Society for Industrial and Applied Mathematics obejmuje około 30000 nazwisk. Aby myśleć o sobie jako matematyku, nie jest jednak wcale konieczna aktywność na najwyższych poziomach matematyki; można być fizykiem, in­ żynierem, informatykiem, ekonomistą, geografem, statysty­ kiem, psychologiem. Amerykańską społeczność matematyczną można zatem szacować na jakieś 60 —80 tysięcy członków. Odpowiednio duża jest ona też we wszystkich krajach roz­ winiętych i rozwijających się. Okresowo odbywają się różne spotkania regionalne, krajowe i międzynarodowe, panuje ożywiona działalność pisarska i edy­ torska na wszystkich poziomach matematyki, a także wychodzi 1600 czasopism technicznych, do których posyła się prace matematyczne. Działalność ta tworzy międzynarodowe forum, które mate­ matykę uwiecznia i rozwija, i na którym dyskutuje się o róż­ nicach w uprawianiu i rozumieniu. Dalsze lektury (patrz bibliografia) E. Bell; B. Boss, M. Nłss; N. Bourbaki; C. Boyer; F. Cajori; J. S. Frame; R. Gillings; E. Flusserl; M. Kline [1972]; U. Libbrecht; Y. Mikami; J. Need­ ham; O. Neugebauer; O. Neugebauer, A. Sachs; D. Struik; B. van der Waerden; A. Juszkiewicz; S. Kulczycki NARZĘDZIA RZEMIOSŁA Jakie narzędzia i jakie wyposażenie są niezbędne do uprawia­ nia matematyki? Istnieje słynny obraz przedstawiający Ar- chimedesa pogrążonego w rozmyślaniu nad rysunkiem na pias- 24 ku i nadbiegającego żołnierza rzymskiego wyglądającego groź- Narzędzia rzemiosła nie i wyzywająco. Obraz ten przedstawił istotę naszego powoła­ nia i przyczynił się do ukształtowania jego zewnętrznego ob­ licza. Mówi, że do uprawiania matematyki wystarcza minimum narzędzi, w ostateczności trochę piasku, potrzebny jest nato­ miast potężny umysł. Niektórzy matematycy chętnie sobie nawet wyobrażają, że matematykę może uprawiać, opierając się na bogactwie platoń­ skiego umysłu, pojedynczy człowiek w ciemnym pokoju. To prawda, że matematyka nie wymaga bogatego wyposażenia laboratoryjnego i że eksperymenty myślowe w zasadzie wystar­ czają, w żadnym jednak razie nie można powiedzieć, że mate­ matyka powstaje całkowicie w głowie. Być może bardzo dawno temu matematykę pierwotną prze­ kazywano tak, jak przekazuje się wielkie eposy lub pierwotną religię — ustnie. Szybko jednak stało się oczywiste, że do uprawiania matematyki potrzebne są przynajmniej narzędzia do zapisywania i odtwarzania. Zanim wynaleziono druk, ist­ niały już „przepisywalnie” do seryjnego kopiowania tekstów. W aksjomaty leżące u podstaw geometrii euklidesowej zo­ stały wbudowane cyrkiel i linijka, co pozwala określać tę geometrię jako naukę o konstrukcjach opartych na cyrklu i linijce. Arytmetykę wspierało wiele instrumentów i mechanizmów, ale największy sukces odniosły trzy: abakus, suwak i komputer, przy czym logiczne możliwości komputera zepchnęły jego uży­ teczność rachunkową na drugi plan. Na początku staraliśmy się jeszcze komputery liczyć. Najpierw było ich cztery: jeden w Filadelfii, drugi w Aberdeen, trzeci w Cambridge i czwarty w Waszyngtonie. Potem było ich dzie­ sięć, a niewiele później już nagle dwieście. Ostatnio słyszeliśmy 0 35 000. Komputerów szybko przybywa, generacja następuje po generacji i dziś kalkulator kieszonkowy za 50 dolarów ma większą moc rachunkową niż mamucie zwłoki rdzewiejących w Instytucie Smithsona ENIAC-ów, MARK-ów, SEAC-ów 1 GOLEM-ów. A być może już jutro supermarkety zaleje komputer za 1,98 dolara, stając się przedmiotem jednorazowego użytku jak plastikowa brzytwa czy papierowa chusteczka. Legenda głosi, że kiedy pod koniec lat czterdziestych stary Tom W atson z korporacji IBM poznał możliwości komputera, ocenił, że 2 —3 zaspokoją potrzeby Stanów Zjednoczonych. Ani on, ani nikt inny nie przewidział, jak zadziwiająco wzrosną potrzeby matematyczne społeczeństwa, wykorzystując dostęp­ ną moc obliczeniową. 25

Pejzaż matematyczny Astrolabium, 1568 26 Związek komputerów z matematyką okazał się znacznie bardziej złożony, niż można było się spodziewać. Większość ludzi uważa, że każdy, kto uważa się za zawodowego matema­ tyka, używa komputerów. W istocie jednak, w porównaniu z inżynierami, fizykami, chemikami i ekonomistami, nastawie­ nie większości matematyków do komputerów cechuje obojęt­ ność, a nawet ignoracja. Sama myśl, że ich twórcza praca mogłaby być kiedykolwiek zmechanizowana, obraża zawodo­ wą godność wielu z nich. Oczywiście dla matematyka pracują­ cego w zastosowaniach i szukającego wraz z inżynierami i in­ nymi badaczami rachunkowych rozwiązań zagadnień praktycz­ nych, komputer stał się niezbędny wiele lat temu. Odpowiednio zaprogramowany komputer potrafi wykony­ wać rozmaite operacje na symbolach matematycznych w za­ kresie na przykład algebry, rachunku różniczkowego i cał­ kowego, rozwinięć w szeregi potęgowe, równań różniczkowych. Wydawało się, że programy takie jak FORM AC czy MAC- SYMA będą nieocenioną pomocą dla matematyka pracującego w zakresie zastosowań. Tak się jednak nie stało z powodów, które nie są jasne. Narzędzia rzemiosła W geometrii komputer okazał się przyrządem do rysowania 0 znacznie większych możliwościach niż szablony i pantografy tradycyjnej pracowni kreślarskiej. Grafika komputerowa do­ starcza pięknie podcieniowanych i kolorowych obrazów „obie­ któw”, określonych jedynie matematycznie lub za pomocą programu. Obserwator mógłby przysiąc, że obrazy te są prze­ tworzonymi zdjęciami obiektów rzeczywistych. Byłby jednak w błędzie: przedstawiane „obiekty” nie istnieją w „realnym świecie” , a w niektórych przypadkach nawet nie mogłyby istnieć. Z drugiej jednak strony, czasem lepiej jest posłużyć się modelem fizycznym, zamiast próbować uzyskać przedstawienie graficzne. Autor zna inżynieryjną firmę chemiczną, zajmującą się projektowaniem zakładów petrochemicznych. Częścią tych zakładów są sieci rur o bardzo skomplikowanej budowie. Standardowa praktyka firmy polega na budowaniu w pewnej skali kolorowego modelu z plastikowych elementów, na któ­ rym wykonuje się znaczną część pracy. Komputer przyczynił się do intensyfikacji badań w zakresie analizy numerycznej i obudził teorię macierzy z pięćdziesięcio­ letniej drzemki. Zwrócił uwagę na znaczenie logiki oraz teorii struktur dyskretnych. Doprowadził do powstania nowych dys­ cyplin, jak programowanie liniowe czy badania złożoności obliczeniowej. Niekiedy, jak przy problemie czterech barw (por. rozdz. 8), pomagał rozwiązać klasyczny problem, niczym śmigłowiec wyciągający wóz osadników z błotnistego dna Pe­ cos River. Jednakże wszystkie te efekty pozostały marginesowe 1 większość badań matematycznych rozwijała się tak, jakby komputery nie istniały. Plastikowy model uży wany przez firmę proje ktową. (Za zgodą: The Lummus Co Bloomfield, N. J.) 27

Pejzaż matematyczny W ostatnich wszakże latach komputery zdołały już wywrzeć znaczący wpływ na matematykę czystą. Może to być wynikiem pojawienia się matematyków, którzy w szkole średniej nauczyli się programowania i dla których komputer jest równie swojski jak telefon czy rower. Widać też już zmiany w badaniach matematycznych. Rośnie zainteresowanie wynikami konstruk- tywistycznymi i algorytmicznymi, maleje natomiast wynikami czysto egzystencjalnymi i dyskusjami teoretycznymi, z których bardzo niewiele daje się przełożyć na obliczenia (omawianie tych zagadnień kontynuujemy w rozdz. 4). To, że komputery stały się ogólnie dostępne, skłania matematyków do podej­ mowania badań, w których mogą one grać pewną rolę. Nie­ mniej jednak większość badań matematycznych nadal prowa­ dzi się bez faktycznego czy potencjalnego zastosowania kom­ puterów. Dalsze lektury ( patrz bibliografia) W. Meyer zur Capellen; F. J. Murray [1961]; G. R. Stibitz; M. L. Dertouzos, J. Moses; H. H. Goldstine; I. Taviss; P. Flenrici [1974] JAKA CZĘŚĆ MATEMATYKI JEST OBECNIE ZNANA? Na Uniwersytecie Browna książki matematyczne mieszczą się na piątym piętrze biblioteki naukowej. W branży uchodzą one za dobrą kolekcję matematyczną, pobieżny zaś rachunek pokazuje, że liczą 60 tysięcy woluminów przeciętnej wielkości. Pewne pozycje mają po kilka egzemplarzy, za to innych brak — powiedzmy, że to się bilansuje. Do tej kolekcji należałoby jednak dodać drugie tyle treści matematycznych z takich przy­ ległych dziedzin jak nauki techniczne, fizyka, astronomia, kar­ tografia, czy z nowych obszarów zastosowań jak ekonomia. W ten sposób dochodzimy do ogólnej liczby, powiedzmy, 100000 woluminów. Sto tysięcy woluminów. Zawarta w nich wiedza przekracza znacznie możliwości ogarnięcia jej przez jednego człowieka, chociaż jest niewielka w porównaniu z innymi kolekcjami, na przykład z zakresu fizyki, medycyny, prawa czy literatury. A przecież żyją dziś ludzie pamiętający pogląd, że właściwie cała matematyka leży w zasięgu ręki pilnego studenta. Rosyjs- 28 ko-szwajcarski matematyk Aleksander Ostrowski wspominał, Jaka część matematyki jest obecnie znana? że kiedy przystępował do końcowych egzaminów na uniwer­ sytecie w Marburgu (około roku 1915), oczekiwano, że powi­ nien móc uporać się z każdym pytaniem odnoszącym się do dowolnej gałęzi matematyki. Taki pogląd jest już dzisiaj nie do utrzymania. Pod koniec lat czterdziestych John von Neumann oceniał, że bystry matematyk może w zasadzie poznać 10% stanu matematyki. Istnieje popu­ larne powiedzenie, że wiedzy tylko przybywa, nigdy nie ubywa. Pogląd ten utrzymuje się mimo takich szokujących stwierdzeń, jak to A. N. Whiteheada, że Europa około 1500 r. umiała mniej niż Grecja w czasach Archimedesa. Matematyka buduje na sobie samej, ma charakter kumulatywny. Algebra buduje na arytmetyce, geometria na arytmetyce i algebrze, analiza na całej tej trójce. Topologia wyłoniła się z geometrii, teorii mnogości i algebry. Równania różniczkowe budują na analizie, topologii i algebrze. Matematykę często przedstawia się w postaci potęż­ nego drzewa, które ma korzenie, pień, konary, gałęzie i gałązki, stosownie do poddziedzin. Drzewo to stale rośnie. Teorie rosną i wypełniają się, pojawiają się nowe. Zarysowu­ ją się i wchodzą na scenę nowe obiekty matematyczne. Odnaj­ duje się nowe związki i relacje, tworzące nowe całości. Wymyś­ la się i wynajduje wciąż nowe zastosowania. Jednocześnie to, co stare i prawdziwe, pozostaje — przynaj­ mniej w zasadzie. Wszystko, co było kiedyś matematyką, matematyką pozostaje — przynajmniej w zasadzie. Może się więc wydawać, że dziedzina ta jest dużym, rosnącym organiz­ mem — gałąź po gałęzi teorii i praktyki. Przyswojenie sobie starszej gałęzi jest warunkiem zrozumienia nowszej. Student wie, że nim weźmie się do teorii równań różniczkowych i spró­ buje ją zrozumieć, będzie musiał odbyć kurs rachunku różnicz­ kowego i całkowego oraz algebry liniowej. Taka stopniowa zależność kontrastuje z innymi dziedzinami, takimi jak sztuka czy muzyka. Można przecież lubić czy „rozumieć” sztukę współczesną, nie znając sztuki baroku, można tworzyć muzykę jazzową bez żadnej znajomości XVII-wiecznych madrygałów. Mimo sporego ładunku prawdy w poglądzie, że matematyka jest nauką kumulatywną, pogląd ten, tak jak go tutaj przed­ stawiliśmy, jest jednak trochę naiwny. Narastaniu nowych treści towarzyszą procesy zmierzające do ich niwelacji. Poje­ dyncze fakty okazują się błędne lub niekompletne. Teorie tracą wzięcie i bywają porzucane. Praca popada w zapomnienie i staje się pożywką antykwariuszy, jak na przykład mnożenie wykonywane za pomocą dodawania funkcji trygonometrycz- John von Neumann 1903-1957

Pejzaż matematyczny nych. Inne teorie wypełniają się i nie są kontynuowane. Starsze prace ogląda się ze współczesnej perspektywy i przeformułowu- je, przy czym stare sformułowania mogą nawet stać się nie­ zrozumiałe (oryginalne pisma Newtona mogą dziś zrozumieć jedynie specjaliści). Zastosowania tracą znaczenie i są zapomi­ nane (aerodynamika zeppelinów). Odkrywa się lepsze metody, które zastępują słabsze (obszerne tablice funkcji specjalnych zostały zastąpione wbudowanymi w komputer aproksymacja­ mi). Wszystko to przyczynia się do zmniejszenia ilości matema­ tyki pozostającej w polu naszej świadomości. Dalsze ubytki wiedzy zachodzą wskutek zniszczenia jej noś­ ników. W czasie wojen i wstrząsów społecznych giną biblioteki, a czego nie zrobiły wojny, dokona chemia. Papier używany we wczesnym okresie druku był o wiele lepszy niż dzisiaj. Około 1850 r. wprowadzono papier z pulpy drzewnej z kwasowym pokryciem i niszczące właściwości tej kombinacji, wraz z naszą zanieczyszczoną atmosferą, mogą prowadzić do rozsypywania się kartek w miarę częstego ich przewracania. Ile książek matematycznych powinien znać kandydat na doktora matematyki? Przeciętny kandydat ma za sobą 30 semestralnych wykładów. Przyjmując 1 książkę na 1 wykład, a następnie podwajając tę liczbę z powodu lektur dodatkowych i poznawczych, dochodzimy do 60 —80 woluminów. Innymi słowy, wystarczą dwie półki książek. Wydaje się, że leży to w zakresie ludzkich możliwości. Musi leżeć. Możemy wyobrazić sobie naszych 60 tysięcy książek jako ocean wiedzy o przeciętnej głębokości 60 —70 książek. W róż­ nych miejscach tego oceanu, czyli w różnych specjalnościach matematycznych, można dokonać sondażu: półka o długości 2/3 metra będzie przedstawiała podstawową wiedzę specjalisty w da­ nym zakresie. Dzieląc 60 000 przez 60, dochodzimy do wniosku, że powinno być co najmniej 1000 różnych specjalności. Ale jest to ocena z niedomiarem, wiele bowiem książek pojawia się na półkach różnych specjalności. Zgrubny podział matematyki, zawarty w AMS (MOS) Classification Scheme z roku 1979, jest przytoczony w dodatku B. Podział dokładniejszy wykazuje, że literatura matematyczna dzieli się na ponad 3000 kategorii. W większości z tych 3000 kategorii tworzy się nową matematy­ kę w ciągle rosnącym tempie. Ocean roszerza się i pogłębia. Dalsze lektury (patrz bibliografia) 30 J. von Neumann; C. S. Fisher Dylemat Ulania DYLEMAT ULAMA Wyrażenie „dylemat Ulama” stosuje się w sytuacji, którą żywo opisał Stanisław Ułam w swojej autobiografii Przygody matematyka. Kilka lat temu, wygłaszając przemówienie podczas uroczystości 25-le- cia konstrukcji kom putera von Neumanna w Princeton, zacząłem nagle szacować w pamięci, ile twierdzeń publikuje się co roku w czasopismach matematycznych. Przeprowadziłem szybko ciche rachunki i doszedłem do liczby stu tysięcy na rok. Powiedziałem to i audytorium osłupiało. Następnego dnia podeszli do mnie dwaj młodzi matematycy spośród słuchaczy i powiedzieli, że pod wrażeniem tej ogromnej liczby podjęli bardziej systematyczne badania w bibliotece instytutu. M nożąc liczbę czasopism przez liczbę zeszytów w roku, przez liczbę prac w zeszycie i przez przeciętną liczbę twierdzeń w pracy, doszli do oceny bliskiej dwustu tysięcy twierdzeń na rok. Jeśli liczba twierdzeń jest tak duża, że nie sposób wszystkich przejrzeć, to kto powinien orzekać, które z nich są „ważne” ? Nie można liczyć na przetrwanie najlepiej przystosowanych, jeśli nie ma porównywania. W istocie dotrzymywanie kroku choćby tylko najwybitniejszym i najbardziej ekscytującym wynikom jest niemożliwe. Jak to pogodzić z poglądem, że matematyka przetrwa jako jedna nauka? W matematyce człowiek wchodzi w swoje własne, małe pólko. W rezul­ tacie ocena wartości badań matematycznych staje się coraz trudniejsza i większość z nas staje się przede wszystkim technikami. Rozmaitość obiektów, nad którymi pracują młodzi uczeni, rośnie wykładniczo. Być może nie należy tego nazywać zanieczyszczaniem myśli, a raczej widzieć w tym odbicie płodności przyrody produkującej miliony różnych gatun­ ków owadów. Każdy matematyk zna opisywaną przez Ulama sytuację. Linię rozwoju można dostrzec jedynie z wąskiej perspektywy jakiejś konkretnej specjalności. Jakie problemy dominują? Ja­ kie są najważniejsze ostatnie osiągnięcia? Odpowiedź na takie pytania jest możliwa tylko wewnątrz wąskiej specjalności, ta­ kiej jak „nieliniowe eliptyczne równania różniczkowe cząst­ kowe drugiego rzędu” . Zadawanie takich pytań w szerszym kontekście jest niemal bezużyteczne, a to z dwóch różnych powodów. Przede wszyst­ kim rzadko można spotkać kogoś, kto znałby najświeższe prace z więcej niż 2 —3 dziedzin. Ogólna ocena wymaga syntezy różnych sądów, z których jedne będą raczej krytyczne, inne — nastawione bardziej przychylnie. Ale nawet gdyby nie było tej trudności, nawet gdybyśmy mieli arbitrów, którzy znają i rozumieją aktualne badania w całej matematyce, napotkaliby­ śmy drugą trudność: brak ustalonych kryteriów pozwalających Stanisław Ułam 1909-1984 31

Pejzaż matematyczny oceniać rezultaty z odległych dziedzin matematyki. Weźmy na przykład dwie dziedziny: nieliniowe rozchodzenie się fal i logikę teorii kategorii. Z punktu widzenia pracujących w tych dziedzi­ nach dokonuje się w nich odkryć o dużej doniosłości, jednakże jest rzeczą wątpliwą, czy ktokolwiek zdaje sobie sprawę, co się dzieje w nich obu. Pewne jest co innego: 95% wszystkich zawodowych matematyków nie zna ani jednej, ani drugiej dziedziny. W tych warunkach rzetelny osąd i racjonalne planowanie wydają się niemożliwe. I rzeczywiście, nikt nawet nie próbuje decydować (globalnie, obejmując całą matematykę), co jest istotne, a co efemeryczne. Wiele lat temu Richard Courant napisał, że rzeka matematy­ ki, gdyby ją oddzielić od fizyki, rozpadłaby się na wiele drobnych strumyków i ostatecznie wyschła. Zaszło jednak coś innego — jakby różne strumienie matematyczne przelały się przez swoje brzegi, zeszły razem i zalały rozległą równinę. W rezultacie widzimy niezliczone prądy, rozdzielające się i łą­ czące, niektóre całkiem słabe i błądzące bez celu, przy czym te, które są stale głębokie i wartkie, łatwo stracić w ogólnym chaosie. Rzecznicy przydzielających fundusze agencji federalnych z całą stanowczością odrzucają każdą próbę oceny czy wy­ boru między jedną dziedziną matematyki a drugą. Jeśli w dziedzinie x powstanie więcej projektów badawczych i zo­ staną one przychylnie ocenione, to większa ich liczba otrzyma fundusze. Wobec braku osoby, która miałaby poczucie słuszności włas­ nych ocen lub kwalifikacje do ich wygłaszania, decyzję podej­ muje „rynek” lub „opinia publiczna” , z tym, że demokratyczny proces decyzyjny powinien przebiegać przez konfrontacje i de­ baty zmierzające do utworzenia dobrze poinformowanego elek­ toratu. Jednakże w procesie oceny jakości w matematyce nie mamy ani debat, ani dyskusji, głosowanie zaś przypomina raczej ekonomiczne wybory konsumenta decydującego się, czy nabyć jakąś rzecz, czy nie. Być może klasyczna ekonomia rynku i nowoczesna teoria marketingu mogłyby rzucić jakieś światło na to, co się będzie dalej działo. Nie ma żadnej pewności, że przetrwają najlepiej przystosowani, chyba że w tautologicznym sensie, iż cokolwiek przetrwa, dowodzi tym swojej wartości na mocy samej definicji! Czy możemy podjąć próbę ustalenia jakichś racjonalnych 32 zasad, które pozwoliłyby przesiać co roku dwieście tysięcy Dylemat Ulama twierdzeń? Czy też należy po prostu przyjąć, że nie ma potrzeby wybierania twierdzeń, podobnie jak nie ma potrzeby wybierania gatunków owadów? Żadne wyjście nie wydaje się w pełni zadowalające, a przecież każdego dnia są po­ dejmowane decyzje, co publikować i na co dać fundusze. Nikt spoza zawodowego kręgu nie ma kompetencji do podejmowania takich decyzji, wewnątrz natomiast tego kręgu niemal nikt nie ma kompetencji do podejmowania ich w kon­ tekście szerszym od wąskiej specjalności. Istnieją matematycy wyjątkowi, których kompetencje obejmują kilka dużych specjalności, na przykład probabilistykę, kombinatorykę i teo­ rię operatorów liniowych. Tworząc z takich ludzi zespół, można dobrać komitet redakcyjny poważnego pisma lub radę agencji federalnej, która przyznaje fundusze. Jak taki zespół podejmuje decyzje? Z pewnością nie przez dyskutowanie i osiąganie porozumienia w zasadniczych wyborach tego, co jest najwartościowsze i najważniejsze w dzisiejszej ma­ tematyce. Dochodzimy do wniosku, że nasz pogląd na to, co jest w matematyce wartościowe, opiera się na naszym rozumieniu natury i zadań samej matematyki. Co to znaczy wiedzieć coś w matematyce? Jaki rodzaj znaczenia przekazują stwier­ dzenia matematyczne? Problemy nie do uniknięcia w codzien­ nej praktyce matematycznej prowadzą do fundamentalnych kwestii epistemologicznych i ontologicznych, jednakże więk­ szość profesjonalistów nauczyła się takie kwestie pomijać jako nieistotne. W praktyce każdy członek takiego zespołu ma żywe po­ wiązania ze swoim własnym obozem (jakkolwiek krytyczny może być w stosunku do każdego innego) i komitet- funk­ cjonuje zgodnie z polityczną zasadą nieagresji lub wzajemnej neutralności. Każdy obszar czy dziedzina dostaje swój przy­ dział, nikt nie musi uzasadniać istnienia swojej dyscypliny i każdy toleruje trwanie różnych innych „zbytecznych” gałęzi matematyki. Dalsze lektury (patrz bibliografia) B. Boss, M. Niss; S. Ulani

ILE MOŻE BYĆ MATEMATYKI? Z miliardami bitów informacji przerabianych co sekunda przez maszyny i z dwustu tysiącami twierdzeń tradycyjnego rękodzieła jest jasne, że świat znajduje się w złotym wieku produkcji matematycznej. Czy jest to także złoty wiek nowych idei matematycznych, to zupełnie inna sprawa. Patrząc na obecną produkcję, można by sądzić, że tworzenie matematyki ludzkość może kontynuować w nieskończoność. Jednakże taka ocena, oparta na ekstrapolacji liniowej (czy wykładniczej), może się okazać naiwna przez to, że nie bierze pod uwagę spadku wywołanego brakiem zastosowań lub ze­ starzeniem się, czy też przez to, że nie liczy się z wewnętrznym nasyceniem. I oczywiście zakłada ona nieustające poparcie przez całe społeczeństwo. Intrygująca jest możliwość wewnętrznego nasycenia. Prze­ mawia za nią to, że w ramach stosunkowo ograniczonych środków wyrazu czy działania istnieje tylko bardzo ograniczo­ na liczba wyraźnie odmiennych form i chociaż ich mnożenie w nieskończoność byłoby możliwe, to jednak kilka prototypów w pełni potrafi wyrazić charakter zjawiska. Tak więc chociaż się mówi, że żadne dwa płatki śniegu nie są identyczne, to jednak uznaje się powszechnie, że z punktu widzenia wzroko­ wej przyjemności, jeśli widziałeś kilka, to widziałeś wszystkie. W matematyce wiele obszarów wykazuje oznaki wewnętrz­ nego wyczerpania, na przykład geometria elementarna okręgu i trójkąta czy klasyczna teoria zmiennej zespolonej. O ile można odwoływać się do pierwszej jako do źródła prostych ćwiczeń dla początkujących i do drugiej po zastosowania w innych obszarach, o tyle wydaje się nieprawdopodobne, by w swoich ciasnych granicach któraś stworzyła jeszcze kiedykol­ wiek coś wyraźnie nowego i zaskakującego. Wydaje się pewne, że istnieje kres objętości żywej matematy­ ki, jaką ludzkość będzie w stanie utrzymać. W miarę po­ wstawania nowych specjalności matematycznych stare będą z konieczności zaniedbywane. Całe dotychczasowe doświadczenie zdaje się wskazywać, że istnieją dwa niewyczerpalne źródła nowych pytań matematycz­ nych. Jednym jest rozwój nauki i techniki, wysuwający pod adresem matematyki stale nowe żądania pomocy. Drugim jest sama matematyka. W miarę, jak staje się coraz bardziej kunsz­ towna i skomplikowana, każdy nowy i pełny wynik staje się 34 potencjalnym punktem wyjścia różnych nowych badań. Każda Pejzaż matematyczny Dodatek A para pozornie nie związanych specjalności matematycznych staje się milczącym wyzwaniem: znaleźć owocny w skutki związek między nimi. Chociaż można więc oczekiwać, że każdy z osobna obszar matematyki się wyczerpie, a wykładniczy wzrost produkcji matematycznej wcześniej czy później ulegnie wyrównaniu, tru­ dno przewidywać koniec całej produkcji matematycznej inaczej niż jako element końca ogólnego dążenia ludzkości do uzys­ kania większej wiedzy i potęgi. Taki koniec może pewnego dnia rzeczywiście nadejść, ale czy będzie to triumf czy tragedia — odpowiedź kryje się daleko poza wszelkim obecnie widocz­ nym horyzontem. Dalsze lektury (patrz bibliografia) C. S. Fisher; J. von Neumann J J U U A 1 E K A Krótka tablica chronologiczna do roku 1910 2200 przed Chr. Tablice matematyczne w Nippur 1650 przed Chr. Papirus Rhinda. Problemy numeryczne 600 przed Chr. Tales. Początek geometrii dedukcyjnej 540 przed Chr. Pitagoras. Geometria. Arytmetyka 380 przed Chr. Platon 340 przed Chr. Arystoteles 300 przed Chr. Euklides. Usystematyzowanie geometrii dedukcyj­ nej 225 przed Chr. Apoloniusz. Przekroje stożka 225 przed Chr. Archimedes. Okrąg i sfera. Pole wycinka paraboli. Szeregi nieskończone. Mechanika, hydrostatyka 150 po Chr. Ptolemeusz. Trygonometria. Ruchy planet 250 Diofantos. Teoria liczb 300 Pappus. Zbiory i komentarze. Dwustosunek 820 al-Chorezmi. Algebra 1100 Omar Chajjam. Równania trzeciego stopnia. Prob­ lemy kalendarzowe 1150 Bhaskara. Algebra 1202 Fibonacci. Arytmetyka, algebra, geometria 1545 Tartaglia, Cardano, Ferrari. Równania algebraiczne wyższych stopni 1580 Vieta. Teoria równań 1600 Harriot. Symbolizm algebraiczny 35

Pejzaż matematyczny 1610 Kepler. Wielościany. Ruchy planet 1614 Napier. Logarytmy 1635 Fermat. Teoria liczb. Maksima i minima 1637 Kartezjusz. Geometria analityczna. Teoria równań 1650 Pascal. Stożkowe. Teoria prawdopodobieństwa 1680 Newton. Rachunek różniczkowy i całkowy. Teoria równań. Grawitacja. Ruchy planet. Szeregi nie­ skończone. Hydrostatyka i hydrodynamika 1682 Leibniz. Rachunek różniczkowy i całkowy 1700 Bernoulli. Rachunek różniczkowy i całkowy. Teoria prawdopodobieństwa 1750 Euler. Rachunek różniczkowy i całkowy. Zmienne zespolone. Matematyka stosowana 1780 Lagrange. Równania różniczkowe. Rachunek wa­ riacyjny 1805 Laplace. Równania różniczkowe. Teoria ruchów planet. Teoria prawdopodobieństwa 1820 Gauss. Teoria liczb. Geometria różniczkowa. Al­ gebra. Astronomia 1825 Bolyai, Łobaczewski. Geometria nieeuklidesowa 1854 Riemann. Teoria całki. Zmienne zespolone. Geo­ metria 1880 Cantor. Teoria zbiorów nieskończonych 1890 Weierstrass. Analiza rzeczywista i zespolona 1895 Poincare. Topologia. Równania różniczkowe 1899 Hilbert. Równania całkowe. Podstawy matematyki 1907 Brouwer. Topologia. Konstruktywizm 1910 Russell, Whitehead. Logika matematyczna Krótka chronologia starożytnej matematyki chińskiej Czou Pei Suan Czing. 300 przed Chr. (?) (Święta Księga arytmetyki) Obliczenia astronomiczne, trójkąty prostokątne, ułamki. Cziu-czang Suan-szu (250 przed Chr.) (Arytmetyka w dziewięciu księgach). Lui Hui (250) Hai-tao Suan-czing (Arytmetyka klasyczna). Anonim (300) Sun-Tsu Suan Czing (Arytmetyka klasyczna Sun-Tsu). Tsu Czung-czi (430-501) Czui-Szu (Sztuka poprawiania), n « 355/113. Wang Hsiao-tung (625) Czi-ku Suan-czing (Kontynuacja starożytnej matematyki). Równania sześcienne. Czin Cziu-szao (1247) Su-szu Cziu-czang (Dziewięć ksiąg matematyki) Równania wyższego stopnia. Metoda Hornera. Liu Hue (1192- 1279) Tse-juan Hai Czing (Zwierciadło okrągłe miary okręgu). Problemy geometryczne prowadzące do równań wyższych stopni. Czu Szi-czieh (1303) Szu-juen Ju-czien (Cenne zwierciadło czterech 36 elementów). Trójkąt Pascala. Sumowanie szeregów. Dodatek B Kuo Czu-czing (1231 —1316) Kalendarz Szu-szi. Trygonometria sfe­ ryczna. Czeng Tai-wei (1593) Suan-fa Tung-tsung (Systematyczny wykład arytmetyki). Najstarsza zachowana praca omawiająca abak. Riczi i Hsu (1607) Czi-ho Juan-pen (Elementy geometrii). Tłumaczenie Euklidesa. DODATEK B PORÓW NANIE KLASYFIKACJI MATEMATYKI Z LAT 1868 I 1979 Dziedziny, 1868 (według Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik) Historia i filozofia Geometria analityczna Algebra Geometria syntetyczna Teoria liczb Mechanika Prawdopodobieństwo Fizyka matematyczna Szeregi Geodezja i astronomia Rachunek różniczkowy i całkowy klasyfikacja zawiera Teoria funkcji 38 poddziedzin Klasyfikacja matematyki, 1979 (według Mathematical Reviews) Ogólne Historia i biografie Logika i podstawy Teoria mnogości Kombinatoryka, teoria grafów Porządki, kraty, uporządkowane struktury algebraiczne Ogólne systemy matematyczne Teoria liczb Algebraiczna teoria liczb, teoria ciał i wielomiany Przemienne pierścienie i algebry Geometria algebraiczna Algebra liniowa i wieloliniowa, teoria macierzy Łączne pierścienie i algebry Niełączne pierścienie i algebry Teoria kategorii, algebra homo­ logiczna Teoria grup i uogólnienia Grupy topologiczne, grupy Liego Funkcje zmiennych rzeczywis­ tych Miara i całkowanie Funkcje zmiennej zespolonej Teoria potencjału Rachunek wielu zmiennych zes­ polonych i przestrzenie anali­ tyczne Funkcje specjalne Zwyczajne równania różniczkowe Cząstkowe równania różniczko­ we Równania różnicowe, równania funkcyjne Ciągi, szeregi, sumowalność Aproksymacje i rozwinięcia Analiza Fouriera 37

Pejzaż matematyczny Abstrakcyjna analiza harmo­ niczna Transformaty całkowe, rachunek operatorowy Równania całkowe Analiza funkcjonalna Teoria operatorów Rachunek wariacyjny Geometria Zbiory wypukłe i nierówności ge­ ometryczne Geometria różniczkowa Topologia ogólna Topologia algebraiczna Rozmaitości i kompleksy komór­ kowe Analiza globalna, analiza na roz­ maitościach Teoria prawdopodobieństwa i procesy stochastyczne Statystyka Analiza numeryczna Informatyka Ogólne zastosowania matema­ tyki Mechanika cząstek i systemów Mechanika brył Mechanika cieczy, akustyka Optyka, teoria elektromagne­ tyczna Termodynamika klasyczna, prze­ noszenie ciepła Mechanika kwantowa Fizyka statystyczna, struktura materii Teoria względności Astronomia i astrofizyka Geofizyka Ekonomia, badania operacyjne, programowanie, gry Biologia i nauki behawioralne Systemy, kontrola Teoria informacji i kodowania, obwody, automaty Klasyfikacja zawiera około 3400 poddziedzin PROBLEMY I ZADANIA Krajobraz matematyczny Co to jest matematyka? Gdzie znaj­ duje się matematyka? Społeczność matematyczna. Narzędzia rzemiosła. Jaka część matematyki jest obecnie znana? Dylemat Ulama. Ile może być matematyki? Problemy do studiowania 1. Co to jest matematyka? 2. Liczba n 3. Informatyka i jej związek z matematyką 4. Matematyka bez symboli Zagadnienia do opracowania 1. Objaśnij krótko swoje rozumienie matematyki. Powiedz, jak lektura rozdziału 1 i dyskusje w Twojej grupie wpłynęły na 38 to rozumienie. Przytocz co najmniej dwa przykłady. Problemy i zadania 2. Przeczytaj książkę: Janina Gajda, Pitagorejczycy, Wiedza Powszechna, Warszawa 1996. Przypuśćmy, że bierzesz udział w dyskusji, a Twój przeciwnik właśnie zakończył dowodzenie, że matematyka nie ma nic wspólnego ze światem rzeczywistym. Opierając się na swoich lekturach, opisz trzy rodzaje związków między matematyką a przyrodą, które odkryli pitagorejczycy. Dodaj jakiś czwarty rodzaj, znany Ci z Twojego własnego doświadczenia. 3. Istnieją pewne cechy charakterystyczne sztuki, muzyki itp. Jakie cechy charakterystyczne posiada matematyka? A ściślej, jakiego rodzaju właściwości przypisujesz matematyce, wspólne z innymi dziedzinami lub ją wyróżniające? 4. Spróbuj wyjaśnić młodszej siostrze, jak trudno zdefiniować matematykę. Uczy się ona algebry i wyobraża sobie, że jest to jedyna gałąź matematyki. Co więcej, nie zna żadnych matematy­ ków i nie sądzi, by matematyka ulegała jakimkolwiek zmianom. 5. Jak zdefiniujesz rc? Jaki rodzaj liczby ona przedstawia? Którzy słynni matematycy nad nią pracowali? Gdzie znajdujemy Ti? Dlaczego matematycy ciągle jeszcze próbują ją oszacować? 6. W odpowiedzi na następujące pytania napisz jednostroni- cowe wypracowania. (a) Wprowadzenie. Opierając się na swojej lekturze Wpro­ wadzenia, opisz rolę dowodu w matematyce. Jakiego jeszcze rodzaju aktywność, oprócz dowodzenia, od­ grywa rolę w pracy matematyka? (b) Uwertura. Opisz na czym, w Twoim przekonaniu, polega różnica między nauczaniem przez „wykonywa­ nie” matematyki a nauczaniem przez „mówienie o” matematyce. Jakiego rodzaju problemy pojawiają się przy nauczaniu drugiego rodzaju? (c) Co to jest matematyka? Jak odpowiedziałbyś rla takie pytanie? Co jest „treścią” matematyki? (d) Gdzie matematyka jest? Matematykę „odkrywamy” czy ją „wymyślamy”? Co o tym myślisz? (e) Społeczność matematyczna. Czy istnieje coś takiego, jak „społeczność” matematyków? Jak sądzisz, mate­ matyka jest aktywnością społeczną czy indywidualną? A może jednym i drugim? (f) Narzędzia rzemiosła. Opisz, jak komputery wpływają na matematykę. Jakiego jeszcze rodzaju narzędzia matematyczne dotychczas istniały? (g) Jaka część matematyki jest obecnie znana? Biorąc pod uwagę wzrost wiedzy w tym zakresie, czym matematy­ ka różni się od sztuki czy fizyki? 39

Pejzaż matematyczny (h) Dylemat Ulama. Opisz ten dylemat. 7. Czy jesteś członkiem społeczności matematycznej? Czy mógłbyś nim zostać? Czy Twój nauczyciel jest nim? Odpowie­ dzi uzasadnij. Zadanie komputerowe System liczb rzeczywistych nie może być zrealizowany na komputerze. Omów to. System liczb wymiernych nie może być zrealizowany na komputerze. Omów to. Proponowane lektury Philip J. Davis, Reuben Hersh, Descartes’Dream, Harcourt Brace Jovanovich, Inc., Boston 1986 (rozdziały: This Mathematized World, Descartes’ Dream, Where the Dream Stands Today, The Limits of Mathematics). Harriet Montague, Mabel Montgomery, How Mathematicians Develop a Branch of Pure Mathematics, w: Douglas M. Campbell, John C. Higgins (red.), Mathematics, People-Problems-Results, tom I, Wadsworth, Inc., Belmont, MA 1984. John Kemeny, Rigor v. Intuition in Mathematics, w: D.M. Campbell, J.C. Higgins, Mathematics... , op. cit. C. Smoryinski, Mathematics as a Cultural System, The Mathematical Intel­ ligencer, 5, nr 1, (1983). Max Dehn, The Mentality of the Mathematics. A Characterization, The Mathematical Intelligencer, 5, nr 2, (1983). David Burton, The History o f Mathematics, An Introduction, William Brown Publishers, Dubuque, 1A 1991. A. Borel, Mathematics: Art and Science, The Mathematical Intelligencer, 5, nr 4, (1983). Mary Coughlin, Mathematics Rooted in Mystery, The Mathematical Intelligen­ cer, 5, nr 1, (1983). Historical Sketches, w: D.M. Campbell, J.C. Higgins (red.), Mathematics..., op. cit. Asger Aaboe, Matematyka w starożytności, Współczesna Biblioteka Naukowa Omega, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1968. H. Eves, Great Moments in Mathematics — Before 1650, Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1983. S. Mac Lane, The Health of Mathematics, The Mathematical Intelligencer, 5, nr 4, (1983). M. Hirsh, The Health of Mathematics — A Second Opinion, The Mathema­ tical Intelligencer, 6, nr 3, (1984). Edna E. Kramer, The Nature and Growth o f Modern Mathematics, Princeton University Press, Princeton 1981. F. Browder, Mathematical Judgement, The Mathematical Intelligencer, 7, nr 1, (1985). John von Neumann, The Mathematician, w: James R. Newman (red.), The World o f Mathematics, tom IV, George Allen and Unwin, Ltd., London 1960. J. T. Schwartz, Pernicious Influence of Mathematics on Science, w: Proceedings o f the 1960 International Congress on Logic, Methodology and Philosophy o f Science, Stanford University Press, Stanford 1962. Janina Gajda, Pitagorejczycy, Wiedza Powszechna, Warszawa 1996. 2 RÓŻNORODNOŚĆ DOŚWIADCZENIA MATEMATYCZNEGO ŚWIADOMOŚĆ POWSZECHNA, INDYWIDUALNA I ZBIOROWA ,,Cały świat kulturalny, we wszystkich swoich przejawach, istnieje dzięki tradycji.” „Tradycja jest zapominaniem początków.” EDMUND HUSSERL, Pochodzenie geometrii Myślenie i działanie współczesnych matematyków obejmuje ograniczoną ilość wiedzy, doświadczenia i aspiracji. Matematy­ ka, której się często używa lub którą się właśnie tworzy, jest częścią powszechnej świadomości. Jest to materiał, który — by posłużyć się informatyczną metaforą — znajduje się w pamięci operacyjnej. Co się w danym momencie tworzy czy praktykuje, można postrzegać dwojako: jako fragment większej, zastygłej w czasie kulturalnej i intelektualnej świadomości środowiska lub też jako część płynącego strumienia świadomości. To, co miał w głowie Archimedes, różniło się od tego, co miał w głowie Newton, a to z kolei było różne od tego, co miał w głowie Gauss. Nie polega to tylko na tym, że Gauss znał więcej matematyki niż Newton, a ten z kolei więcej niż Ar­ chimedes. Znali oni różną matematykę. Aktualny stan wiedzy jest zawsze wpleciony w sieć różnych motywacji i aspiracji, różnych interpretacji i możliwości. Archimedes, Newton i Gauss wiedzieli, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°. Archimedes znał to zarówno jako zjawisko przyrody jak i wniosek wydedukowany z aksjomatów Euklidesa. Newton znał to jako wniosek i z zastosowań, ale mógł także rozważać kwestię jego prawdziwości, czy jest to tak związane z wszelką prawdą we wszechświecie, że Bóg Wszech­ mogący nie mógł tego ustanowić inaczej. Gauss wiedział, że stwierdzenie to jest czasem słuszne, a czasem niesłuszne, w za­ leżności od sposobu rozpoczęcia gry dedukcyjnej i myślał, jakie 41

jeszcze inne dziwne sprzeczności z geometrią euklidesową moż­ na w podobny sposób uzyskać. Weźmy przykład bardziej elementarny. Liczyć i uprawiać arytmetykę można na wiele sposobów: za pomocą kamyków, abaku czy ziaren, na palcach, ołówkiem na papierze, na aryt­ mometrach, na kieszonkowych kalkulatorach. Każdy z tych sposobów prowadzi do trochę odmiennego pojmowania liczb całkowitych i innego do nich stosunku. Jeśli podnosi się dzisiaj wrzawa przeciwko dodawaniu przez dzieci na kalku­ latorach, to krzyczący mają rację, twierdząc, że nie jest to tym samym co borykanie się z arytmetyką z pomocą papieru i ołówka, z tymi wszystkimi okropnymi przenoszeniami i za­ pożyczeniami. Mylą się natomiast, kiedy sądzą, że arytmetyka papieru i ołówka jest idealna, a to, co ją zastępuje, nie jest kształcące. Zrozumienie matematyki jakiegoś wcześniejszego okresu wy­ maga wniknięcia w ówczesną świadomość indywidualną i zbio­ rową. Zadanie to jest szczególnie trudne, formalne bowiem i nieformalne przekazy matematyczne, jakie do nas dotarły, nie opisują szczegółowo sieci świadomości. Wydaje się nie do wyobrażenia, by znaczenie matematyki można było zrekon­ struować wyłącznie na podstawie drukowanych zapisów. Po­ niższe szkice próbują zarysować stan ducha, który może leżeć u podstaw matematycznego zaangażowania. IDEALNY MATEMATYK Naszkicujmy portret „idealnego matematyka” . Nie mamy przez to na myśli matematyka doskonałego, matematyka bez skazy, lecz raczej matematyka najbardziej przypominającego matematyka; podobnie można by opisywać idealnie rasowego charta czy idealnego trzynastowiecznego mnicha. Spróbujemy skonstruować okaz niewiarygodnie czysty, a to w tym celu, by ujawnić paradoksalne i niejasne aspekty roli matematyka. W szczególności zamierzamy wyraźnie odsłonić rozbieżność pomiędzy faktyczną pracą i aktywnością matematyka a jego własnym postrzeganiem tej pracy i aktywności. Praca idealnego matematyka jest zrozumiała jedynie dla niewielkiej, liczącej kilkadziesiąt lub najwyżej kilkaset osób grupy specjalistów. Ta grupa istnieje dopiero od kilkudziesięciu lat i według wszelkiego prawdopodobieństwa zaniknie w ciągu 49 następnych kilkudziesięciu. Mimo to matematyk traktuje swoje Różnorodność doświadczenia matematycznego Idealny matematyk wyniki jako element rzeczywistej struktury świata, jako prawdy obowiązujące wiecznie, w najodleglejszych nawet zakątkach wszechświata. To swoje przekonanie opiera na ścisłym dowodzie. Wierzy, że różnica między dowodem poprawnym a niepoprawnym jest bezbłędnie uchwytna i decydująca. Nie wyobraża sobie krytyki bardziej miażdżącej niż ta, kiedy mówi o jakimś studencie „on nawet nie wie, co to jest dowód” . A przy tym może nie potrafić objaśnić w sposób spójny, co się rozumie przez ścisłość ani jak uzyskać dowód ścisły. W jego własnej pracy granica między dowodem pełnym a niepełnym jest zawsze trochę rozmyta i często kontrowersyjna. Żeby móc w ogóle mówić o matematyku idealnym, musimy określić dziedzinę, przedmiot jego zainteresowań. Niech to będą, na przykład, „nieriemannowskie hiperkwadraty” . Na etykietkę idealnego matematyka składa się jego dziedzi­ na, to, ile publikuje, a zwłaszcza, na czyich wynikach się opiera i czyim smakiem kieruje w wyborze problemów. Studiuje obiekty, których istnienia nie podejrzewa nikt poza małym kręgiem jego kolegów. W istocie, jeśli ktoś niewtajem­ niczony spyta go, co on bada, nie potrafi tego ani wskazać, ani opisać. Aby zrozumieć teorię, której się poświęca, trzeba wielu lat żmudnego terminowania. Dopiero wtedy umysł staje się przygotowany na zrozumienie tego, co on bada. Wcześniej dysponuje się jedynie „definicją”, która może być tak niejasna, że oprze się wszelkim próbom zrozumienia. Obiekty, które nasz matematyk studiuje, były przed wie­ kiem XX nieznane, a jest wysoce prawdopodobne, że były nieznane jeszcze trzydzieści lat temu. Dzisiaj są celem życia kilkudziesięciu (najwyżej kilkuset) jego kolegów. On- i jego koledzy nie wątpią jednak, że nieriemannowskie hiperkwadraty istnieją rzeczywiście, w sposób równie określony i obiektywny jak skały Gibraltaru czy kometa Halleya. W istocie dowód istnienia nieriemannowskich hiperkwadratów jest jednym z ich podstawowych osiągnięć, podczas gdy istnienie skał Gibraltaru jest tylko wysoce prawdopodobne, ale nie udowodnione w spo­ sób ścisły. Nigdy nie przyszło mu na myśl zapytać, co słowo „istnieje” tutaj znaczy. Znaczenie to można próbować odkryć, obser­ wując go przy pracy i przypatrując się temu, co słowo „istnieje” znaczy w praktyce. Dla niego w każdym razie nieriemannowski hiperkwadrat istnieje. Zajmuje się nim z namiętnym oddaniem, całe dnie 43

spędzając na rozmyślaniu o nim. Jego życie o tyle jest udane, 0 ile udaje mu się odkryć nowe fakty o nim. Nawiązywanie pozbawionych treści rozmów z tą sporą częś­ cią ludzkości, która nigdy o nieriemannowskich hiperkwad- ratach nie słyszała, wydaje mu się trudne. Stwarza mu to spore kłopoty: na jego wydziale jest dwóch kolegów, którzy coś wiedzą na temat nieriemannowskich hiperkwadratów, ale jeden z nich przebywa na rocznym urlopie, a drugi bardziej interesuje się półpierścieniami nieeulerowskimi. Jeździ więc na konferen­ cje, a latem składa wizyty kolegom, aby tylko spotkać ludzi mówiących jego językiem i potrafiących docenić jego pracę 1 których uznanie, aprobata i podziw są jedyną wartościową nagrodą, na jaką może liczyć. Na konferencjach głównym tematem jest zazwyczaj „pro­ blem istnienia” (ewentualnie „problem konstrukcji” albo „pro­ blem klasyfikacji”) nieriemannowskich hiperkwadratów. Pro­ blem ten pierwszy postawił profesor Nemo, twórca teorii nieriemannowskich hiperkwadratów. Jest to ważne, ponieważ profesor Nemo postawił problem i podał jego częściowe roz­ wiązanie, którego niestety nikt poza nim nie był w stanie zrozumieć. Od czasu profesora Nemo pracują nad tym prob­ lemem najlepsi nieriemannowscy hiperkwadratyści, otrzymując wiele rozwiązań częściowych. W ten sposób problem uzyskał wysoką rangę. Nasz bohater często śni, że go rozwiązał. Dwa razy, budząc się ze snu, był przekonany, że znalazł rozwiązanie, jednakże w obu przypadkach inni entuzjaści teorii nieriemannowskich hiperkwadratów odkryli lukę w jego rozumowaniu i problem pozostaje otwarty. Tymczasem odkrywa on nowe i interesujące fakty dotyczące nieriemannowskich hiperkwadratów. Swoje wyniki przekazuje kolegom specjalistom niedbałym stylem ste­ nograficznym: „stosując wygładzenie tangencjalne do lewego ąuasi-martyngału, otrzymuje się estymację lepszą od kwadra­ towej, wskutek czego zbieżność w twierdzeniu Bergsteina oka­ zuje się tego samego rodzaju co stopień aproksymacji w twier­ dzeniu Steinberga” . Tego lekkiego stylu już nie ma w jego publikacjach. Tam piętrzy formalizm na formalizmie. Po trzech stronicach defini­ cji następuje siedem lematów oraz twierdzenie, którego założe­ nia zajmują połowę stronicy, podczas gdy dowód sprowadza się w zasadzie do „zastosuj lematy ł —7 do definicji A —H ” . Jego styl pisarski stosuje się niezłomnie do konwencji: ukryć 44 wszelkie oznaki, że autor i ewentualny czytelnik są istotami Różnorodność doświadczenia matematycznego Idealny matematyk ludzkimi. Sprawia to wrażenie, że upragniony rezultat wynika niezachwianie z definicji drogą czysto mechanicznej procedury. W istocie nie zbudowano jeszcze komputera, który przyjąłby na wejściu definicje naszego matematyka. Aby czytać jego dowody, trzeba znać cały zespół motywacji, standardowych argumentów i przykładów, przyzwyczajeń myślowych i ak­ ceptowanych sposobów rozumowania. Ewentualni czytelnicy (wszystkiego dwunastu) potrafią rozszyfrować formalne przed­ stawienie, wykryć nową ideę ukrytą w lemacie 4, zignorować rutynowe postępowanie i nieciekawe obliczenia w lematach 1, 2, 3, 5, 6, 7 i dojść do tego, co autor robi i dlaczego to robi. Jednakże dla niewtajemniczonego jest to szyfr, który nigdy nie zdradzi swoich sekretów. Jeśliby (Boże uchowaj!) bractwo nieriemannowskich hiperkwadratystów kiedykolwiek wymarło, prace naszego bohatera staną się trudniejsze do przetłumaczenia niż pismo Majów. Trudności w porozumiewaniu wyraźnie wyszły na jaw, kiedy idealnego matematyka odwiedził rzecznik prasowy uniwer­ sytetu. R.P.: Dziękuję, że znalazł pan czas na rozmowę ze mną. Matematyka była zawsze moim najgorszym przedmiotem. I.M : Nie ma za co, to pańska praca R.P: Otrzymałem polecenie napisania notatki prasowej o odnowieniu pańskiego grantu. Zwykle wystarcza jedno zda­ nie „Profesor X otrzymał grant w wysokości Y dolarów na kontynuowanie swoich badań nad problemem istnienia nierie­ mannowskich hiperkwadratów” . Jednakże pomyślałem sobie, że będzie to ciekawe wyzwanie spróbować lepiej przedstawić ludziom, czym naprawdę się pan zajmuje. Przede wszystkim, co to jest hiperkwadrat? I.M .: Ciężko mi to powiedzieć, ale prawda jest taka, że gdybym go zdefiniował, gotów pan pomyśleć, że próbuję pana speszyć i dać do zrozumienia, że jest pan głupi. Definicja jest naprawdę dość techniczna i po prostu nic nie znaczy dla większości ludzi. R.P.: Czy inżynierowie i fizycy mogliby coś wiedzieć na ten temat? I.M:. Nie. No, może nieliczni fizycy teoretycy. Bardzo nie­ liczni. R.P: Skoro nie może mi pan podać prawdziwej definicji, to może przynajmniej jakiś ogólny pogląd na charakter i cel pańskiej pracy? 45

I.M : Dobrze, spróbuję. Na przestrzeni miarowej Q weźmy funkcję gładką /, przyjmującą wartości w snopie kiełków ze strukturą zbieżności typu nasyconego. W najprostszym przy­ padku ... R.P.: Zdaje się, że zadałem niewłaściwe pytanie. Czy może mi pan coś powiedzieć o zastosowaniach pańskich badań? I.M : Zastosowaniach? R.P: Tak, zastosowaniach. I.M .: Mówiono mi, że czyniono próby użycia nieriemannow- skich hiperkwadratów jako modeli cząstek elementarnych w fi­ zyce jądrowej. Nie wiem, czy uzyskano jakiś postęp. R.P: Czy w pańskiej dziedzinie dokonał się ostatnio jakiś większy przełom? Jakieś pasjonujące nowe wyniki, o których ludzie mówią? I.M.\ Oczywiście! Jest praca Steinberga-Bergsteina, najwięk­ sze osiągnięcie od pięciu co najmniej lat. R.P.: Co oni zrobili? I.M:. Nie potrafię panu objaśnić. R.P: Rozumiem. Czy pańskim zdaniem poparcie badań w pańskiej dziedzinie jest dostateczne? I.M : Dostateczne? Nawet takiego nie udaje. Niektórym z najlepszych młodych ludzi w tej dziedzinie odmówiono wspa­ rcia badań. Nie mam najmniejszej wątpliwości, że mając dodat­ kowe wsparcie, moglibyśmy uzyskać szybsze postępy w roz­ wiązywaniu problemu istnienia. R.P: Czy widzi pan jakiś sposób, żeby praca w pańskiej dziedzinie mogła prowadzić do czegoś zrozumiałego dla zwyk­ łego śmiertelnika? I.M : Nie. R.P: A inżynierowie lub naukowcy? I.M : Bardzo w to wątpię. R.P: A wśród czystych matematyków, czy większość mogła­ by być zainteresowana lub zaznajomiona? I.M : Nie, byłaby to skromna mniejszość. R.P: Czy jest jeszcze coś, co chciałby pan przekazać na temat swojej pracy? I.M : Tamto jedno zdanie wystarczy. R.P: Nie chce pan, by społeczeństwo sympatyzowało z pańs­ ką pracą i popierało ją? I.M : Oczywiście, ale nie moim kosztem. R.P: Kosztem? I.M : Wciągnięcia w jakieś prasowe sztuczki. 46 R.P: No, dobrze. Raz jeszcze dziękuję za pański czas. Różnorodność doświadczenia matematycznego I.M : Nie ma za co. Taką ma pan pracę. No tak, rzecznik prasowy. Czego tu wymagać? Zobaczmy, jak sobie nasz idealny matematyk radzi ze studentem, który przyszedł z dziwnym pytaniem. Idealny matematyk Student. Proszę pana, co to jest dowód matematyczny? I.M : Pan tego nie wie? Na którym jest pan roku? Student'. Na trzecim. I.M : Niewiarygodne! Dowód w moim wydaniu oglądał pan przy tablicy trzy razy w tygodniu przez trzy lata. To właśnie jest dowód. Student'. Przepraszam pana, powinienem był powiedzieć, że studiuję filozofię, a nie matematykę. Nigdy nie byłem na pańskim wykładzie. I.M : O! No, dobrze, w takim razie ... Ale trochę matematy­ ki pan zaliczył, prawda? Czy zna pan dowód podstawowego twierdzenia analizy albo podstawowego twierdzenia algebry? Student: Widziałem rozumowania w geometrii, algebrze, analizie, które nazywano dowodami. 1 nie pytam o przykłady dowodów, pytam o definicję. Jak mogę bez niej stwierdzić, które przykłady są poprawne? I.M : Cała ta sprawa została wyjaśniona, jak się wydaje, przez logika Tarskiego i paru innych, jak Russell i Peano. W każdym razie ma pan wypisać aksjomaty swojej teorii w języku formalnym, z daną listą symboli lub alfabetem. Następnie w tejże symbolice wypisuje pan założenia swojego twierdzenia i pokazuje, że można, krok po kroku, przekształcać założenia, stosując metody logiki, aż dojdzie się do tezy. To jest dowód. Student: Naprawdę? Zadziwiające! Zaliczyłem elementarną i zaawansowaną analizę, podstawy algebry i topologię, ale nigdy czegoś takiego nie widziałem. I.M : No, oczywiście nikt tak naprawdę nie postępuje. Trwa­ łoby to wieczność! Pokazuje się, że można tak zrobić i to wystarcza. Student: Ale i to wcale nie przypomina tego, co jest w moich notatkach i w podręcznikach. A zatem matematycy, koniec końców, naprawdę nie przeprowadzają dowodów. I.M : Ależ oczywiście, że dowodzimy! Jeśli twierdzenie nie jest dowiedzione, jest niczym. Student: A zatem, co to jest dowód? Jeśli to jest ta rzecz z formalnym językiem i regułami przekształceń, to nikt nigdy niczego nie dowodzi. Czy zatem, aby móc przeprowadzić Alfred Tarski 1901-1983 47

dowód matematyczny, trzeba wiedzieć wszystko o językach formalnych i logice formalnej? I.M:. Oczywiście, że nie. Im mniej pan wie, tym lepiej. Cała ta sprawa jest zresztą rodzajem abstrakcyjnego nonsensu. Student'. A zatem, czym w istocie jest dowód? I.M : No cóż, jest to rozumowanie, które przekonuje kogoś, kto zna przedmiot. Student. Kogoś, kto zna przedmiot? Zatem definicja dowodu jest subiektywna, zależy od poszczególnej osoby. Nim zdecydu­ ję, czy jakaś rzecz jest dowodem, muszę zdecydować, kim są eksperci. Co ma to wspólnego z dowodzeniem? I.M : Ależ nie! Nie ma w tym nic subiektywnego! Każdy wie, co to jest dowód. Proszę przeczytać parę książek, posłuchać wykładu kompetentnego matematyka, a pojmie to pan. Student'. Jest pan pewien? I.M : No, możliwe, że nie, jeśli nie ma pan żadnych po temu uzdolnień. To także może się zdarzyć. Student: Zatem to pan decyduje, czym jest dowód i jeśli ja nie zdołam sobie tego przyswoić, uzna mnie pan za niezdolnego. I.M : Jeśli nie ja, to kto? Potem idealny matematyk spotyka filozofa pozytywistę. F.P: Pański platonizm jest wprost niewiarygodny. Nawet najgłupszy student wie, że nie należy mnożyć bytów, a u pana jest ich nie garstka, ale nieskończoność nieprzeliczalna! I nikt ich nie zna, oprócz pana i pańskich kolegów! Kogo pan chce nabrać? I.M : Mnie nie interesuje filozofia, jestem matematykiem. F.P: Pan jest jak ów typ z Moliera, który nie wiedział, że mówi prozą! Pańskie „ścisłe dowody istnienia” są filozoficznie bez sensu. Czy pan nie wie, że to, co istnieje, powinno być obserwowane, a przynajmniej obserwowalne? I.M : Niech pan posłucha, ja nie mam czasu wnikać w filozo­ ficzne kontrowersje. Szczerze mówiąc, wątpię, czy ludzie rozu­ mieją, o czym mówią, w przeciwnym bowiem razie potrafiliby nadać temu tak precyzyjną formę, że byłbym w stanie zro­ zumieć i sprawdzić te wasze rozumowania. A co do bycia platonikiem, to jest to tylko wygodny sposób wyrażania się. Nigdy nie sądziłem, że hiperkwadraty istnieją. Kiedy mówię, że istnieją, znaczy to tylko, że aksjomaty hiperkwadratów mają model. Innymi słowy, nie można z nich wydedukować sprzecz­ ności, a zatem, zgodnie z powszechnym obyczajem matematy- 48 cznym, mamy prawo uznawać ich istnienie. Tylko tyle to Różnorodność doświadczenia matematycznego Idealny matematyk znaczy, to po prostu gra taka jak szachy, którą prowadzimy aksjomatami i regułami wynikania. F.P: No, dobrze, nie chciałem pana urazić. Jestem pewien, że sprzyja pańskim badaniom wyobrażanie sobie, że mówi się 0 czymś rzeczywistym. I.M : Nie jestem filozofem, filozofia mnie nudzi. Rozważania 1rozważania, które do niczego nie prowadzą. Moje zadanie polega na dowodzeniu twierdzeń, a nie na martwieniu się, co one znaczą. Idealny matematyk czuje się przygotowany, gdyby zaszła taka potrzeba, do spotkania z pozagalaktyczną inteligencją. Jego pierwsza próba porozumienia polegałaby na napisaniu (lub przekazaniu w inny sposób) pierwszych kilkuset cyfr rozwinięcia dwójkowego liczby n. Dla niego jest oczywiste, że każda inteligentna istota zdolna do międzygalaktycznego ko­ munikowania się, jest nastawiona matematycznie, a zatem jest sens mówić o inteligencji matematycznej niezależnie od myśli i działań istot ludzkich. Co więcej, uważa on za oczywiste, że przedstawienie dwójkowe i liczba rzeczywista k są częścią wewnętrznego ładu wszechświata. Przyzna, że żadne z nich nie jest obiektem rzeczywistym, będzie jednak utrzymywał, że zostały one odkryte, a nie wymy­ ślone. Ich odkrycie w jakiejś formie podobnej do znanej już przez nas jest nieuniknione, jeśli tylko wznieść się dostatecznie wysoko nad stan pierwotny i podjąć komunikację z innymi galaktykami (czy nawet systemami słonecznymi). Miał kiedyś miejsce następujący dialog między idealnym matematykiem a sceptycznym humanistą: S.H.: Pan wierzy w swoje liczby i krzywe, podobnie jak misjonarze chrześcijańscy wierzyli w swoje krucyfiksy. Gdyby misjonarz udał się na Księżyc w 1500 r., machałby swoim krzyżem, żeby pokazać księżycowym istotom, że jest chrześcija­ ninem i oczekiwałby od nich, że w odpowiedzi pomachają mu swoim znakiem*. A pan ze swoim rozwinięciem liczby n jest jeszcze bardziej arogancki. * Porównaj opis wyprawy Coronado do Ciboli w 1540 r.: „[...] w straży przedniej, oprócz 25 —30 pieszych i wielkiej liczby indiańskich wojowników, było jakichś 80 jeźdźców. W grupie tej znajdowali się wszyscy księża, żaden z nich bowiem nie chciał zostać z tyłu za armią. Ich zadaniem było nawiązywa­ nie stosunków z przyjaźnie nastawionymi Indianami, których mogli napotkać, byli oni bowiem w szczególny sposób nosicielami Krzyża, symbolu, który [...] wywierał wpływ na tubylców po drodze.” (H. E. Bolton, Coronado, University of New Mexico Press, 1949.) 49

I.M:. Arogancki? Przecież było ono sprawdzane wielokrot­ nie, aż do stutysięcznego miejsca po przecinku! S.H:. Widziałem jak mało miał pan do powiedzenia nawet amerykańskiemu matematykowi, który nie znał pańskiej gry w hiperkwadraty. Nie dotarł pan nawet do pierwszej bazy, próbując porozumieć się z fizykiem teoretycznym; nie potrafi pan czytać jego prac, podobnie zresztą jak on nie potrafi czytać pańskich. Praca naukowa z pana dziedziny, napisana przed rokiem 1910, jest dla pana martwa jak testament Tutenchamo- na. Jakie są podstawy, by myśleć, że potrafi pan nawiązać łączność z inteligencją pozagalaktyczną? I.M : Jeśli nie ja, to kto? S.H: Ktokolwiek inny! Czyż życie i śmierć, miłość i niena­ wiść, radość i rozpacz nie są przesłaniem bardziej uniwersal­ nym niż sucha, pedantyczna formuła, którą tylko pan i kilkuset panu podobnych odróżni od śladów kurzych pazurów na podwórku? I.M : Przyczyna, dla której moje formuły nadają się do łączności międzygalaktycznej, jest dokładnie ta sama, dla któ­ rej nie nadają się one do łączności ziemskiej. Ich sens jest nie tylko ziemski, one są pozbawione ludzkiej specyfiki. S.H: Nie sądzę, by misjonarz powiedział coś takiego o krzy­ żu, ale zapewne coś zbliżonego i z pewnością nie mniej absur­ dalnego i pretensjonalnego. Powyższe szkice są pozbawione złośliwej intencji, w rzeczy samej bowiem stosują się do autorów niniejszej książki. Jest wszakże faktem zbyt oczywistym, a przeto łatwo zapomina­ nym, że praca matematyczna, którą w rezultacie długiej zażyło­ ści matematyk przyjmuje za coś oczywistego, jest zjawiskiem tajemniczym, niemal nieobjaśnialnym z punktu widzenia out­ sidera, przy czym ów outsider może być laikiem, uniwersytec­ kim kolegą, a nawet uczonym, używającym matematyki w swo­ jej pracy. Matematyk zwykle przyjmuje, że tylko jego własny punkt widzenia zasługuje na uwagę. Czy uznalibyśmy takie roszczenie w przypadku innego ezoterycznego bractwa? Czy też może chłodne opisanie jego działań przez dobrze poinformowanego outsidera bardziej zasługiwałoby na zaufanie niż opis uczest­ nika, który może nie być w stanie dostrzec, a tym bardziej zakwestionować, przekonań swojej koterii? Matematycy wiedzą, że studiują obiektywnie istniejącą rze- 50 czywistość. Komuś z zewnątrz może się wydawać, że tworzą Różnorodność doświadczenia matematycznego Fizyk patrzy na matematykę oni ezoteryczną wspólnotę złożoną z nich samych i niewiel­ kiego kręgu ich przyjaciół. Jak my, matematycy, możemy przekonać sceptycznego outsidera, że nasze twierdzenia mają znaczenie dla świata poza naszym bractwem? Jeśli taka osoba akceptuje naszą dyscyplinę i poświęca dwa lub trzy lata poważnym studiom matematycznym, to przejmuje nasz sposób myślenia i przestaje być krytycznym outsiderem, jakim kiedyś była. Analogicznie krytyk scjentyzmu, który pod­ jąłby kilkuletnie studia u uznanych autorytetów scjentyzmu, może je z powodzeniem skończyć jako wierzący, a nie krytyk. Jeśli student nie potrafi przejąć naszego sposobu myślenia, to oczywiście go odrzucamy. Jeśli jednak pokona nasz tor z prze­ szkodami, a potem uzna, że nasze argumenty są niejasne czy nieprawdziwe, to pozbywamy się go jako dziwaka, zrzędę czy nieudacznika. Oczywiście nic z tego nie dowodzi, iż błądzimy sądząc, że dysponujemy skuteczną metodą odkrywania prawd obiektyw­ nych. Musimy wszakże zastanowić się przez chwilę i zdać sobie sprawę, że poza naszą koterią wiele z tego, co robimy, jest niezrozumiałe. Nie ma sposobu na przekonanie pewnego siebie sceptyka, że rzeczy, o których mówimy, mają znaczenie, czy choćby tylko „istnieją” . FIZYK PATRZY NA MATEMATYKĘ Jak fizycy patrzą na matematykę? Zamiast odpowiadać na to pytanie na podstawie tekstów różnych fizyków, przeprowa­ dziliśmy wywiad z jednym z nich, którego poglądy naukowe uchodzą za reprezentatywne. A że poniższa relacja nie jest w stanie w pełni i precyzyjnie oddać jego poglądów, nazwisko zostało zmienione. Profesor William F. Taylor jest międzynarodowym auto­ rytetem w zakresie nauk technicznych. Aktywnie angażuje się w nauczanie i badania, utrzymuje też szerokie kontakty naukowe. Autor przeprowadził z nim wywiad w sierpniu 1977 roku w Wilmington (Vermont), gdzie profesor przebywał z żo­ ną na wakacjach, ciesząc się tenisem i koncertami sponso­ rowanymi przez Marlboro. W czasie wywiadu starałem się nie przeciwstawiać mu odmiennych poglądów ani nie anga­ żować w dyskusję. Profesor Taylor powiada, że jego dziedzina leży na po­ graniczu fizyki, chemii i materiałoznawstwa, ale nie stara się ci