Stewart Ian - DLACZEGO PRAWDA JEST PIĘKNA. O Symetrii w Matematyce i Fizyce.pdf

Tytuł oryginału WHY BEAUTY IS TRUTH Copyright © Joat Enterprises 2007 All rights reserved Projekt okładki Prószyński Media Grafika komputerowa na okładce Sven Geier Redaktor serii Adrian Markowski Redakcja Eliza Czerwińska Korekta Mariola Będkowska ISBN 978-83-7961-855-2 Warszawa 2012 Wydawca Prószyński Media Sp. z o.o. 02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28 www.proszynski.pl

John Keats (1795–1821) ODA DO URNY GRECKIEJ (urywek) Attycka formo! Piękna ideale Wpisany w taniec kamiennych postaci, Zdobny wiciami zdeptanymi w szale, Kształcie milczący, myśl się w tobie traci Jako w wieczności: Te chłodne idylle! Choć z wieku tego nie zostanie człowiek, Ty przetrwasz dumna w przyszłości udręce, Nowym przyjazna ludziom, którym powiesz: „Piękno jest prawdą, prawda pięknem” – tyle Wiedzieć wam dane i nie trzeba więcej. Przekład © Agnieszka Fulińska 2010

Przedmowa Trzynasty marca 1832 r. W porannej mgle dwóch młodych Francuzów, stojąc naprzeciw siebie z wyciągniętymi pistoletami, ma zamiar pojedynkować się o młodą kobietę. Pada strzał, jeden z nich śmiertelnie raniony pada na ziemię. Dwa tygodnie później w wieku 21 lat umiera na skutek zapalenia otrzewnej i zostaje pochowany w nieoznakowanym grobie. Wraz z nim umiera jedna z najważniejszych idei w matematyce. Ten, który przeżył, do dziś pozostaje nieznany. Ten zabity nazywał się Évariste Galois i był politykiem-rewolucjonistą oraz zapalonym matematykiem. Jego prace zebrane zajmują zaledwie sześćdziesiąt stron, ale zrewolucjonizowały matematykę. Galois stworzył język pozwalający opisać symetrię struktur matematycznych oraz ich konsekwencje. Ten język, znany jako teoria grup, wykorzystuje dziś matematyka czysta i stosowana do opisu powstawania wzorców struktury w naturze. Symetria odgrywa także kluczową rolę w kwantowym świecie rzeczy bardzo małych i relatywistycznym świecie rzeczy bardzo dużych. Może się przyczynić do powstania długo poszukiwanej „teorii wszystkiego”, matematycznej unifikacji tych dwóch gałęzi współczesnej fizyki. Wszystko to zapoczątkowało proste pytanie dotyczące rozwiązań równań matematycznych – poszukiwania w algebrze „nieznanej” liczby na podstawie kilku matematycznych wskazówek. Symetria nie jest liczbą albo kształtem, lecz specjalnym rodzajem transformacji – sposobem poruszania obiektu. Jeśli po dokonaniu transformacji obiekt wygląda identycznie, to taka transformacja jest symetrią. Na przykład kwadrat wygląda tak samo, jeśli jest obrócony o kąt prosty. Ta idea, znacznie rozszerzona i rozbudowana, jest dzisiaj podstawowym narzędziem służącym do badania Wszechświata i jego początków. Podstawą teorii względności Alberta Einsteina była zasada mówiąca, że prawa fizyki muszą być takie same we wszystkich miejscach i wszystkich momentach czasu. Znaczy to, że prawa powinny być symetryczne ze względu na ruch w przestrzeni i upływ czasu. Fizyka kwantowa twierdzi, że wszystko we Wszechświecie jest zbudowane z bardzo małych cząstek elementarnych. Zachowanie tych cząstek jest opisywane matematycznymi równaniami – prawami natury – a prawa te mają symetrię. Za pomocą takich równań cząstki mogą

być transformowane w zupełnie inne cząstki, przy czym transformacje nie powodują zmiany praw fizyki. Takie koncepcje, a także inne obowiązujące we współczesnej fizyce, nie mogłyby zostać stworzone bez dogłębnej matematycznej analizy symetrii. Analiza ta, dokonana na gruncie matematyki abstrakcyjnej, miała wpływ na fizykę w okresie znacznie późniejszym. Niezwykle użyteczne idee mogą powstawać w wyniku czysto abstrakcyjnych rozważań, co Eugene Wigner określił jako „nieprawdopodobną skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych”. Dzięki matematyce zysk znacznie przekracza koszty. Książka ta, rozpoczynająca się historią starożytnych skrybów babilońskich i kończąca opowieścią o fizykach XXI w., przedstawia zmagania matematyków z koncepcją symetrii oraz pokazuje, jak bezcelowe z pozoru poszukiwanie nieistniejącego wzoru przyczyniło się do odkrycia nowego okna na Wszechświat i zrewolucjonizowało naukę. Jest to opowieść o symetrii, ilustrująca, jak wstrząsy polityczne i naukowe mogą wzmacniać oddziaływanie kultury i historyczną ciągłość wielkich idei. * Rzut oka na pierwszą część książki może prowadzić do wniosku, że nie ma ona nic wspólnego z symetrią i niewiele wspólnego ze światem przyrody. Powód jest prosty – nie geometrii, jak można by oczekiwać, symetria zawdzięcza, że stała się dominującą ideą. Koncepcja symetrii, piękna i niezbędna dla dzisiejszej matematyki i fizyki, pojawiła się dzięki algebrze. Dlatego duża część książki jest poświęcona opisowi poszukiwań rozwiązań równań algebraicznych. Czytelnik może odnieść wrażenie, że zagłębiamy się w technikę rachunkową, ale poszukiwania te są fascynujące, życie wielu głównych postaci było bowiem niezwykłe i pełne dramatyzmu. Matematycy są ludźmi, choć często pochłaniają ich abstrakcyjne rozważania. Niektórzy oddali logice władzę nad swym życiem, ale przekonamy się nieraz, że nasi bohaterowie mieli także bardzo ludzkie cechy. Dowiemy się, jak żyli i umierali, poznamy ich romanse i pojedynki, gwałtowne spory, skandale seksualne, pijaństwo, choroby i w końcu zobaczymy, jak ich matematyczne idee zmieniają świat i przyczyniają się do kolejnych odkryć! Opowieść, rozpoczynająca się dziesięć wieków przed naszą erą, punkt kulminacyjny osiąga w czasach Galois, na początku XIX w. Poznajemy krok po kroku rozwój metod rozwiązywania równań, metod, które przestały być skuteczne, gdy matematycy spróbowali rozwiązać równanie piątego stopnia, czyli takie, w którym niewiadoma jest podniesiona do potęgi piątej. Czy ich sposoby zawiodły dlatego, że równanie stopnia piątego fundamentalnie różni się od innych równań? Może istnieją skuteczniejsze

metody, które pozwalałyby wyprowadzić wzory stanowiące rozwiązanie równania? Czy matematycy natknęli się na poważną przeszkodę, czy tylko brak zdolności ogranicza ich możliwości przełamania impasu? Rozwiązania równania piątego stopnia istnieją. Pytanie tylko, czy można je wyrazić za pomocą wzorów algebraicznych. W 1812 r. młody Norweg, Niels Henrik Abel, udowodnił, że równanie piątego stopnia nie może być rozwiązane metodami algebraicznymi. Jednak jego dowód był cokolwiek zagadkowy i niebezpośredni. Wskazywał na to, że nie istnieje ogólne rozwiązanie, ale nie wyjaśniał dlaczego. Dopiero Galois odkrył, że nierozwiązywalność równania piątego stopnia wynika z jego symetrii. Jeśli symetrie te spełniają wymóg Galois – to znaczy pasują do siebie w pewien sposób, którego jeszcze teraz nie wyjaśnię – rozwiązanie równania może być wyrażone wzorem algebraicznym. Jeśli nie spełniają wymogu Galois, to nie istnieje rozwiązanie wyrażone takim wzorem. Ogólnie rzecz biorąc, równanie piątego stopnia nie może być wyrażone wzorem algebraicznym, ponieważ cechuje je zły rodzaj symetrii. * Odkrycie to stanowi następny temat książki, którym jest grupa – jako matematyczny „rachunek symetrii”. Galois odkrył na nowo starożytną metodę matematyczną, algebrę, jako narzędzie badania symetrii. W tej chwili słowo „grupa” pozostaje niezrozumiałym pojęciem istniejącym w żargonie matematycznym. Wyjaśnię znaczenie tego określenia, gdy stanie się ono konieczne do zrozumienia książki. Czasami dla śledzenia treści niezbędny jest odpowiedni termin. Jeśli napotykamy wyraz mający cechy żargonu, który nie został natychmiast wyjaśniony, to spełnia on funkcję pożytecznej etykietki o niezbyt istotnym znaczeniu. Niekiedy znaczenie to pojawia się samoistnie w trakcie czytania. Pojęcie „grupy” jest przykładem takiego zjawiska, nie wyjaśnimy go aż do połowy książki. Nasza opowieść porusza także problem osobliwego znaczenia pewnych liczb w matematyce. Nie mam tu na myśli podstawowych stałych fizyki, ale stałe matematyczne, jak π (grecka litera pi). Prędkość światła na przykład może być w zasadzie jakakolwiek, ale tak się zdarzyło w naszym Wszechświecie, że wynosi 299 792,5 km na sekundę. Z kolei π jest troszkę większe od 3,14159 i nic na świecie nie może tego faktu zmienić. Nierozwiązywalność równania piątego stopnia sugeruje nam, tak jak π, że liczba pięć jest również bardzo osobliwa. Związana z nią grupa symetrii nie spełnia wymogu Galois. Innym osobliwym przykładem jest ciąg liczb 1, 2, 4, 8. Matematycy odkryli wiele rozszerzeń koncepcji zwykłych liczb „rzeczywistych”, najpierw na liczby

zespolone, a potem na obiekty zwane kwaternionami i oktonionami. Są one utworzone odpowiednio z dwóch liczb rzeczywistych, czterech liczb rzeczywistych i ośmiu liczb rzeczywistych. A co dalej? Naturalnym przypuszczeniem byłoby szesnaście liczb rzeczywistych, ale w istocie nie ma dalszych sensownych rozszerzeń klas zbiorów liczbowych. Ten fakt jest niezwykły i ważny. Mówi nam, że liczba 8 ma niezwykłe cechy, nie w jakimś powierzchownym sensie, lecz ze względu na jej związek z samą strukturą matematyki. Oprócz roli liczb 5 i 8, książka ta ukazuje funkcję kilku innych liczb, a w szczególności 14, 52, 78, 133 i 248. Te osobliwe liczby to wymiary pięciu „wyjątkowych grup Liego”, które mają wpływ na całą matematykę i większość metod matematycznych stosowanych w fizyce. Są one głównymi postaciami matematycznego dramatu, podczas gdy inne liczby, na pozór niewiele różniące się od nich, są tylko zwykłymi pionkami w tej grze. Dopiero pod koniec XIX w., wtedy, gdy powstała współczesna algebra, matematycy odkryli specjalną rolę tych liczb. Chodzi nie o nie same, ale o ich znaczenie dla podstaw algebry. Z każdą z nich skojarzony jest obiekt matematyczny zwany grupą Liego, mający wyjątkowe i niezwykłe własności. Grupy te odgrywają główną rolę we współczesnej fizyce i wygląda na to, że mają związek z fundamentalną strukturą przestrzeni, czasu i materii. * Zagadnienie to prowadzi nas do ostatniego tematu: fizyki zjawisk podstawowych. Fizycy przez długi czas zastanawiali się, dlaczego przestrzeń ma trzy wymiary, a czas tylko jeden – dlaczego żyjemy w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Teoria superstrun, najnowsza próba ujednolicenia całej fizyki do jednego spójnego zbioru praw, przyczyniła się do podjęcia przez fizyków rozważań dotyczących możliwości istnienia „ukrytych” wymiarów czasoprzestrzeni. Może to się wydawać śmiesznym pomysłem, ale ma dobre historyczne tradycje. Idea istnienia dodatkowych wymiarów wiąże się prawdopodobnie z tą własnością teorii superstrun, która budzi najmniej sprzeciwów. Znacznie bardziej kontrowersyjne jest przekonanie, że u podstaw nowej teorii przestrzeni i czasu leżą matematyczne założenia teorii względności i teorii kwantów, dwóch filarów współczesnej fizyki. Unifikacja tych dwóch wzajemnie sprzecznych teorii uważana jest za ćwiczenie matematyczne, a nie proces wymagający nowych i rewolucyjnych eksperymentów. Oczekuje się, że matematyczne piękno będzie zasadniczym wymogiem fizycznej prawdy. To może być bardzo niebezpieczne założenie. Nie można tracić z pola widzenia świata fizycznego, jakakolwiek bowiem

teoria powstająca w wyniku dzisiejszych rozważań nie uniknie jutro porównania z eksperymentem i obserwacjami, niezależnie od tego, jak mocne będą jej matematyczne podstawy. Jednak obecnie istnieją wystarczające powody do przyjęcia matematycznego podejścia. Jednym z nich jest to, że nikt nie wie, jakie eksperymenty powinien przeprowadzić, dopóki nie sformułuje się naprawdę przekonującej teorii. Inny jest taki, że matematyczna symetria odgrywa podstawową rolę zarówno w teorii względności, jak i mechanice kwantowej, dwóch teoriach niemających wspólnych podstaw. Dlatego też powinniśmy tym bardziej cenić każdy bit informacji, który możemy dzięki niej uzyskać. Możliwe do wyobrażenia struktury przestrzeni, czasu i materii wyznaczane są za pomocą ich symetrii, a wielkie perspektywy w tym kontekście mają wyjątkowe struktury algebraiczne. Własności czasoprzestrzeni mogą wynikać z tego, że matematyka zezwala jedynie na bardzo krótką listę tych specjalnych form. Jeśli to prawda, warto zająć się matematyką. Dlaczego Wszechświat jest tak bardzo matematyczny? Rozmaite są odpowiedzi na to pytanie, ale żadna z nich mnie nie przekonuje. Relacja symetryczna pomiędzy matematycznymi ideami a światem fizycznym, jak symetria pomiędzy naszym zmysłem piękna a najbardziej istotnymi matematycznymi strukturami, jest najgłębszą i być może nieodgadnioną tajemnicą. Nikt z nas nie może powiedzieć, dlaczego piękno jest prawdą, a prawda pięknem. Możemy jedynie zastanawiać się nad nieskończoną złożonością tego związku.

Rozdział 1 Babilońscy skrybowie Przez region, w którym leży dzisiejszy Irak, płyną dwie najsłynniejsze rzeki świata. Powstały tam cywilizacje, które im obu zawdzięczały swą egzystencję. Spływając ze źródeł położonych w górach wschodniej Turcji, rzeki te nawadniają tysiące kilometrów żyznych równin, aż w końcu łączą się w pojedynczą drogę wodną, która znajduje ujście w Zatoce Perskiej. Ograniczają je od południowego zachodu pustynny, suchy Płaskowyż Syryjsko-Arabski, od północnego wschodu niegościnne pasma gór Antytaurusu i Zagrosu. Rzeki te to Eufrat i Tygrys, płynące przez starożytne ziemie Asyrii, Akadu i Sumeru prawie tymi samymi korytami od czterech tysięcy lat. Region pomiędzy Tygrysem a Eufratem archeolodzy nazywają Mezopotamią, co w starożytnej grece oznaczało „pomiędzy rzekami”. Region ten słusznie zwany jest kolebką naszej cywilizacji. Rzeki dostarczały równinom wodę, która je użyźniała. Obfitość roślinności przyciągała stada owiec i jeleni, one z kolei ściągały drapieżniki, wśród nich ludzi – myśliwych. Równiny Mezopotamii były rajskim ogrodem dla zbieraczy-myśliwych, magnesem przyciągającym plemiona koczowników. Były one tak żyzne, że myślistwo i zbieractwo przekształciło się w końcu w efektywniejsze strategie zdobywania pożywienia. Znaleziska wykopane na północ od gór otaczających Żyzny Półksiężyc świadczą o tym, że około dziewięciu wieków przed naszą erą powstała rewolucyjna technologia: rolnictwo. Tuż po tym nastąpiły dwie zasadnicze zmiany w ludzkich wspólnotach, spowodowane potrzebą pozostania w jednym miejscu ze względu na uprawę oraz możliwością wyżywienia większych populacji. Ta kombinacja prowadziła do powstania miast; w Mezopotamii wciąż odkrywane są pozostałości najwcześniejszych wielkich miast-państw: Niniwy, Nimrudu, Uruku, Lagaszu, Eridu, Ur i przede wszystkim Babilonu z jego wiszącymi ogrodami i wieżą Babel. Tutaj, przed tysiącami lat, przejście na rolnictwo spowodowało powstanie zorganizowanych społeczeństw ludzkich z towarzyszącymi im atrybutami władzy, takimi jak rząd, biurokracja i wojsko. Pomiędzy rokiem 2000 a 500 p.n.e. nad brzegami Eufratu kwitła cywilizacja zwana teraz babilońską. Jej nazwa pochodzi od nazwy głównego miasta, ale w szerszym sensie dotyczy także kultury

sumeryjskiej i akadyjskiej. Pierwsza znana wzmianka o Babilonie pojawiła się na glinianej tabliczce Sargona z Akadii, pochodzącej z około 2250 r. p.n.e., choć korzenie Babilończyków mogą sięgać nawet trzech tysięcy lat wstecz. Niewiele wiemy o korzeniach „cywilizacji” – słowo to określa sposób zorganizowania ludzi w osiadłe społeczeństwa. Jednak wydaje się, że wiele elementów współczesnego świata pochodzi wprost od starożytnych Babilończyków. W szczególności byli oni doskonałymi astronomami i można im przypisać stworzenie dwunastu konstelacji Zodiaku, podział okręgu na 360 stopni, minuty na sześćdziesiąt sekund i godziny na sześćdziesiąt minut. Babilończycy potrzebowali tego systemu jednostek miary do obserwacji astronomicznych i dzięki temu stali się ekspertami w dziedzinie matematyki – służebnicy astronomii. Uczyli się w szkołach matematyki. Tak jak my. * – Jaką dzisiaj mamy lekcję? – zapytał Nabu, kładąc obok siebie zawiniątko ze śniadaniem. Jego matka dbała, aby zawsze miał dużo chleba i mięsa – zwykle koziego. Czasami wkładała mu do zawiniątka ser, tak dla urozmaicenia. – Matmę – odpowiedział posępnie jego przyjaciel Gamesz. – Dlaczego nie jest to prawo? Wolę się uczyć prawa. Nabu, który uczył się bez wysiłku matematyki, nie mógł pojąć, dlaczego jego koledzy uważają matematykę za trudny przedmiot. – Czy nie wydaje ci się, Gameszu, nudne to przepisywanie wszystkich tych formułek prawniczych i uczenie się ich na pamięć? – Nie, to proste. Nie musisz przy tym myśleć. – Dlatego wydaje mi się to takie nudne – odpowiedział przyjaciel – tymczasem matematyka… – … jest okropna – włączył się do rozmowy Humbaba, który przybył do szkoły skrybów jak zwykle spóźniony. – Powiedz Nabu, co ja mam z tym zrobić? – Wskazał ręką na zadanie domowe wyryte na glinianej tabliczce. – Mnożę liczbę przez siebie samą i dodaję jej podwojenie. W wyniku otrzymuję 24. Co to za liczba? – Cztery – odpowiedział Nabu. – Naprawdę? – wykrzyknął Gamesz. – Tak, ja to wiem, ale w jaki sposób można ten wynik otrzymać? – zapytał Humbaba. Nabu skrupulatnie zaczął wyjaśniać procedurę, którą nauczyciel matematyki pokazał im tydzień temu. – Dodaj połowę z 2 do 24, otrzymasz 25. Wyciągnij z tego pierwiastek kwadratowy, a otrzymasz 5…

Gamesz zakłopotany uniósł w górę ręce. – Nabu, ja dotąd nie rozumiem tych pierwiastków kwadratowych. – Aha! – rzekł Nabu. – Teraz wszystko jasne! – Obaj jego przyjaciele popatrzyli na niego jak na wariata. – Gameszu, musisz najpierw poznać pierwiastki kwadratowe, a dopiero potem możesz się uczyć rozwiązywania równań. – O obu nie mam pojęcia – mruknął Gamesz. – Ale najpierw musisz przerobić pierwiastki kwadratowe. Musisz opanowywać materiał krok po kroku, tak jak to nam powtarza nauczyciel. – Powtarza nam także, abyśmy nie brudzili naszej odzieży – zaprotestował Humbaba – ale mu i tak na to nie… – To co innego, to… – To niedobrze! – jęknął Gamesz. – Nigdy nie zostanę skrybą. Od ojca tak oberwę, że nie będę mógł usiąść, a matka spojrzy znowu na mnie tym swoim błagalnym wzrokiem i powie, że muszę się jeszcze bardziej postarać i pomyśleć o rodzinie. A ja nie mogę wbić sobie tej matematyki do głowy! Prawo mogę zapamiętać. To fajne. Na przykład coś takiego: „jeśli żona człowieka szlachetnie urodzonego zamorduje go z powodu innego mężczyzny, to będzie nabita na pal”. To jest moim zdaniem warte nauki. A nie durne rzeczy w rodzaju pierwiastków kwadratowych. – Zamilkł na chwilę, by zaczerpnąć oddechu, i potrząsał rękami z emocji. – Równania, liczby – po co nam to? – Bo są użyteczne – odparł Humbaba. – Pamiętasz prawo dotyczące obcinania uszu niewolnikom? – Tak! – odrzekł Gamesz. – Kara za napaść. – Gdy wybijesz oko zwykłemu człowiekowi – podpowiadał Humbaba – to musisz mu zapłacić… – Jedną srebrną minę – odpowiedział Gamesz. – A jeśli złamiesz niewolnikowi kość? – Zapłacisz jego panu odszkodowanie w wysokości połowy jego wartości. Teraz Humbaba zamknął swą pułapkę. – A zatem jeśli niewolnik kosztuje sześćdziesiąt szekli, to musisz umieć policzyć, ile to jest połowa z sześćdziesięciu. Jeśli chcesz być prawnikiem, to musisz znać matematykę! – To wynosi trzydzieści szekli – odrzekł natychmiast Gamesz. – A widzisz! – zakrzyknął Nabu. – Umiesz liczyć! – Do tego matematyka mi nie jest potrzebna, bo to jest oczywiste. – Przyszły prawnik wymachiwał rękami w powietrzu, starając się uzewnętrznić swoje uczucia. – Jeśli to dotyczy świata realnego, to tak, Nabu, umiem liczyć. Ale te wszystkie wydumane zagadnienia związane z pierwiastkami kwadratowymi sprawiają, że tracę tę umiejętność. – Potrzebujesz pierwiastków kwadratowych przy pomiarach gruntu – odpowiedział

Humbaba. – Tak, ale ja nie zamierzam być poborcą podatkowym, mój ojciec chce, bym został skrybą – zauważył Gamesz. – Tak jak on. Po co mi do tego matematyka? – Bo jest użyteczna – powtórzył Humbaba. – A mnie się wydaje, że nie o to tutaj chodzi – cicho powiedział Nabu. – Myślę, że chodzi tu o prawdę i piękno, o otrzymywanie wyniku i przekonanie, że jest on poprawny. – Ale wygląd twarzy jego przyjaciół uzmysłowił mu, że ich nie przekonał. – A według mnie chodzi o wynik i przekonanie się, że jest niepoprawny – westchnął Gamesz. – Matematyka jest ważna, bo jest prawdziwa i piękna – obstawał przy swoim Nabu. – Pierwiastki kwadratowe mają zasadnicze znaczenie dla rozwiązywania równań. Może być z nich mniej pożytku, ale to nie ma znaczenia. Są ważne dla siebie samych. Gamesz zamierzał powiedzieć coś niecenzuralnego, ale zauważył wchodzącego do klasy nauczyciela i nagłym atakiem kaszlu pokrył swoje zmieszanie. – Dzień dobry, chłopcy – powiedział pogodnie nauczyciel. – Dzień dobry panu. – Pokażcie mi swoje zadania domowe. Gamesz westchnął. Humbaba spoglądał zaniepokojony. Twarz Nabu pozostawała bez wyrazu. Pomyślał, że tak będzie lepiej. * Najbardziej zadziwiającą rzeczą w podsłuchanej przez nas rozmowie – oprócz tego, że jest całkowicie fikcyjna – jest to, że miała miejsce około 1100 r. p.n.e. w legendarnym mieście Babilonie. Miałem na myśli, że mogła mieć miejsce, nie ma bowiem żadnych świadectw rozmowy pomiędzy trzema chłopcami o imionach Nabu, Gamesz i Humbaba. Jednak natura ludzka jest niezmienna od wieków i dlatego moja opowieść ma bardzo solidne, oparte na dowodach podstawy. Wiemy zaskakująco dużo o babilońskiej cywilizacji, ponieważ istnieją o niej zapisy sporządzone na mokrej glinie za pomocą dziwnych znaków o klinowym kształcie – od tego kształtu pismo to nazwano klinowym. Gdy glina wyschła i utwardziła się w babilońskim słońcu, znaki te stawały się praktycznie niezniszczalne. Gdy zaś dom, w którym składowano takie tabliczki, spalił się, co często się zdarzało, ciepło przekształcało tabliczki w ceramikę, której trwałość była jeszcze większa. W końcu wszystko pokrył piasek pustyni, co uczyniło zapis wiecznym. Z tego powodu Babilon stał się miejscem, gdzie narodziła się pisana historia. Także tutaj rozpoczęła się historia ludzkiego pojmowania symetrii – oraz jej ilościowa teoria, „analiza”

symetrii, równie potężna jak analiza matematyczna Izaaka Newtona i Gottfrieda Leibniza. Bez wątpienia historia ta sięga głębiej w przeszłość, moglibyśmy ją poznać, ale tylko gdybyśmy mieli wehikuł czasu albo przynajmniej jeszcze starsze gliniane tabliczki. Z zapisanej historii możemy się dowiedzieć, że matematycy babilońscy dali ludzkości podstawy nauki o symetrii, co zasadniczo wpłynęło na postrzeganie świata fizycznego. * Matematyka opiera się na liczbach, ale nie jest do nich ograniczona. Babilończycy znali efektywny system liczbowy, który w przeciwieństwie do naszego systemu dziesiętnego (opartego na potęgach dziesięciu) był sześćdziesiętny (oparty na potęgach sześćdziesięciu). Znali trójkąty prostokątne i coś równoznacznego z twierdzeniem Pitagorasa – choć, w odróżnieniu do swych greckich następców, matematycy babilońscy nie starali się potwierdzać swych empirycznych odkryć logicznym dowodem. Babilończycy używali matematyki do wyższych celów: w astronomii, przypuszczalnie do rozwiązywania problemów rolnictwa i ze względów religijnych, ale także, z zupełnie prozaicznych powodów, w handlu i podczas poboru podatków. Ta dualna rola matematyki – odkrywanie porządku świata natury i wspomaganie ludzkiego życia – snuje się jak złota nić przez jej historię. Najbardziej istotne w matematyce Babilończyków jest to, że nauczyli się, jak należy rozwiązywać równania. Równania są matematycznym sposobem na znalezienie wartości nieznanej wielkości w sytuacji, gdy znamy poszlaki. „Oto pewne fakty dotyczące nieznanej liczby: odkryj, jaka to liczba”. Równanie jest pewnym rodzajem układanki dotyczącym liczby. Nie wiemy, jaka jest liczba, ale wiemy o niej coś, co możemy wykorzystać. Naszym zadaniem jest rozwiązanie układanki przez odnalezienie nieznanej liczby. Może się wydawać, że zabawa ta została wywiedziona z geometrycznej koncepcji symetrii, ale w matematyce zawsze okazuje się, że pomysły dotyczące określonej idei rzucają światło na inne, bardzo odmienne zagadnienia. Ta wzajemna więź zagadnień jest intelektualną siłą matematyki. Dzięki temu też system liczbowy wynaleziony w celu komercyjnym pozwolił starożytnym uzyskiwać wiedzę o gwiazdach stałych i ruchach planet. Zagadka może być łatwa: „Podwojona liczba daje 60, jakiej liczby szukamy?”. Nie trzeba być genialnym, żeby się zorientować, że chodzi o liczbę 30. Może też być trudniejsza: „Mnożę liczbę przez siebie samą i dodaję 25: w rezultacie otrzymuję liczbę dziesięć razy większą od szukanej liczby. Jakiej liczby szukamy?”. Metodą prób i błędów możemy dojść do wniosku, że jest to liczba 5 – ale metoda prób i błędów jest

nieefektywna w przypadku rozwiązywania zagadki czy równania. Co będzie, gdy na przykład zamienimy 25 na 23? Albo na 26? Babilońscy matematycy gardzili metodą prób i błędów, ponieważ posiedli znacznie większy sekret. Znali metodę, standardową procedurę rozwiązywania równań. O ile wiemy, byli oni pierwszymi ludźmi, którzy uzmysłowili sobie, że takie techniki istnieją. * Tajemniczość Babilonu wynika częściowo z wielu biblijnych odnośników. Wszyscy znamy historię Daniela w jaskini lwów, która dzieje się w Babilonie za rządów króla Nabuchonodozora. Jednak w czasach późniejszych Babilon stał się prawie mityczny, miasto długo było wymarłe, całkowicie zniszczone i może nigdy nie istniało. Albo tak się wydawało około dwóch stuleci temu. Przez tysiące lat po równinach ziemi, którą dziś nazywamy Irakiem, rozsiane były dziwne pagórki. Rycerze powracający z krucjat przywozili pamiątki wyciągane z gruzu – zdobione cegły, fragmenty niedających się rozszyfrować inskrypcji. Pagórki te były ruinami starożytnych miast, ale poza tym niewiele wiedziano. W 1811 r. Claudius Rich przeprowadził w Iraku pierwsze naukowe badanie utworzonego z gruzu pagórka. Sześćdziesiąt mil na południe od Bagdadu, nad Eufratem, dokonał oględzin miejsca, które wkrótce określił jako pozostałości Babilonu, a następnie najął robotników w celu przekopania ruin. Wśród znalezisk były cegły, tabliczki z pismem klinowym, przepiękne pieczęcie cylindryczne, które po przetoczeniu po mokrej glinie dawały odciski słów i obrazki, oraz dzieła sztuki tak wspaniałe, że ten, kto je wyrzeźbił, talentem musiał dorównywać Leonardowi da Vinci i Michałowi Aniołowi. Jeszcze bardziej interesujące okazały się rozbite tabliczki klinowe zaśmiecające stanowiska archeologiczne. Na całe szczęście ci pierwsi archeolodzy docenili ich potencjalną wartość i zachowali je. Gdy odczytano pismo klinowe, tabliczki te stały się skarbem zawierającym informacje o życiu i troskach Babilończyków. Tabliczki i inne pozostałości powiedziały nam, że historia starożytnej Mezopotamii była długa i złożona, tworzyło ją wiele kultur i państw. Zwykle używa się nazwy „Babilon” zarówno w odniesieniu do nich wszystkich, jak i do specyficznej kultury, której ośrodek stanowiło miasto Babilon. Jednakże centrum kultury mezopotamskiej przemieszczało się wielokrotnie w zależności od tego, czy miasto zyskiwało przychylność władców, czy popadało w niełaskę. Archeolodzy podzielili historię Babilonu na dwa główne okresy. Okres starożytny rozpoczyna się około roku 2000 p.n.e. i kończy około roku 1600 p.n.e., a okres neobabiloński trwa od 625 r. p.n.e. do 539 r. p.n.e. Pomiędzy nimi były okresy: starożytny asyryjski, kasycki,

środkowoasyryjski i neoasyryjski, gdy Babilonem rządzili obcy. Matematykę babilońską kontynuowano w Syrii w okresie panowania Seleucydów i później, przez niemal pięćset lat albo i dłużej. Sama kultura była bardziej stabilna niż społeczeństwo, które ją kultywowało, i pozostała prawie niezmieniona przez blisko 1200 lat, niekiedy tylko jej rozwój był zakłócany w okresach wstrząsów politycznych. Dlatego też każdy z aspektów kultury babilońskiej, niebędący określonym zdarzeniem historycznym, zaistniał prawdopodobnie znacznie wcześniej niż znane nam zapiski historyczne. Szczególnie odnosi się to do pewnych technik matematycznych, których zachowane dowody materialne datuje się na około 600 r. p.n.e. – metody te musiały istnieć już wcześniej. Z tego powodu główny bohater tego rozdziału, wymyślony przeze mnie skryba o imieniu Nabu-Szamasz, którego już poznaliśmy podczas spotkania trzech przyjaciół przed lekcją matematyki, powinien żyć gdzieś około roku 1100 p.n.e. podczas rządów króla Nabuchodonozora I. Wszystkie inne osoby, które spotkamy w trakcie czytania tekstu, są jak najbardziej prawdziwymi postaciami historycznymi o dobrze udokumentowanych dziejach. Natomiast spośród około miliona babilońskich glinianych tabliczek, które przetrwały do naszych czasów, niewiele zawiera informacje o losach osób innych niż wybitni wodzowie i członkowie dworskiej świty. Dlatego postać Nabu-Szamasza musi być pastiszem; stworzyłem ją, wykorzystując wiedzę o życiu codziennym w starożytnym Babilonie, którą dysponujemy. Nie będzie mu przypisany żaden wynalazek, ale będzie posiadał cały zasób wiedzy zgromadzonej w tamtym czasie, grającej rolę w opowieści o symetrii. Istnieją solidne dowody na to, że każdy babiloński skryba miał gruntowne wykształcenie, a jego ważnym elementem była znajomość matematyki. Imię naszego wyimaginowanego skryby jest połączeniem dwóch prawdziwych babilońskich imion, mitycznego boga Nabu i boga słońca Szamasza. W kulturze babilońskiej nie było niczym niezwykłym nadawanie ludziom imion boskich, choć może dwa boskie imiona mogłyby być uznane za ekstremizm. Jednak narracja wymaga, abyśmy naszego bohatera nazywali bardziej konkretnie niż po prostu skrybą. W momencie narodzin Nabu-Szamasza królem Babilonu był Nabuchodonozor I, najbardziej znamienity monarcha z Drugiej Dynastii z Isin. Nie był to król znany z Biblii, tamten bowiem był Nabuchodonozorem II, synem Nabopolasara, i panował od 605 do 562 r. p.n.e. W okresie panowania Nabuchodonozora II Babilon osiągnął szczyt rozwoju materialnego, a w regionie był potęgą. Państwo rozkwitało także wcześniej pod rządami jego imiennika, ponieważ wtedy Babilon rozszerzył swą władzę na Akadię i górskie krainy na północy. Jednak Akadia stopniowo uniezależniała się od babilońskiej władzy podczas panowania Ahur-res-isziego i jego syna Tiglat- Pilezera I i umacniała swe bezpieczeństwo poprzez akcje zbrojne przeciw górskim

i pustynnym plemionom, które otaczały ją z trzech stron. Zatem życie Nabu-Szamasza rozpoczyna się w okresie stabilizacji Babilonu, ale gdy będzie młodym człowiekiem, gwiazda Babilonu zacznie przygasać, a czasy staną się bardziej burzliwe. * Nabu-Szamasz przyszedł na świat w typowej rodzinie należącej do klasy wyższej starożytnego Babilonu, niedaleko od kanału Libil-hegala i blisko słynnej Bramy Isztar otwierającej drogę ceremonialną, zbudowanej z barwionej cegły glazurowanej ozdobionej fantazyjnymi postaciami, byków, lwów, a nawet smoków. Prowadząca od Bramy Isztar droga o szerokości 20 m była wspaniała, wybrukowana wapiennymi płytami kładzionymi na asfaltowej nawierzchni o ceglanym fundamencie. Jej nazwa brzmiała „Niech wróg nie odniesie zwycięstwa”, ale znana jest głównie jako droga ceremonialna, której kapłani używali podczas procesji po mieście z wizerunkiem boga Marduka. Dom rodzinny naszego skryby był zbudowany z cegieł otrzymywanych z suszonego mułu, a jego ściany miały grubość 1,8 m, aby chronić przed słońcem. Zewnętrzne ściany, w których było kilka otworów, w tym główne wejście na poziomie ulicy, wznosiły się na wysokość trzech pięter, z tym że najwyższe piętro było zbudowane z lżejszych materiałów, głównie drewna. Rodzina miała wielu niewolników, którzy zajmowali się typowymi domowymi obowiązkami. Ich kwatery, wraz z kuchnią, znajdowały się na prawo od głównego wejścia. Na lewo były pomieszczenia rodziny, duży pokój gościnny, sypialnie i łazienka. Za czasów Nabu-Szamasza nie było wanien, choć przetrwały niektóre z innych epok. Zamiast tego niewolnik polewał wodą głowę i ciało kąpiącego się, co przypominało współczesny prysznic. Centralny dziedziniec nie był zadaszony, a na jego końcu znajdowały się spiżarnie. Ojciec Nabu-Szamasza był urzędnikiem na dworze króla o nieznanym imieniu, który panował przed Nabuchodonozorem I. Jego obowiązki były typowe dla biurokraty: odpowiadał za administrowanie całą dzielnicą oraz egzekwowanie prawa i ochronę porządku, aby pola były należycie nawadniane, a odpowiednie podatki zapłacone i zebrane. Ojciec Nabu-Szamasza był także wykształconym skrybą, ponieważ biegłości w piśmie i arytmetyce wymagano od każdego urzędnika państwowego, jak to dzisiaj określamy. Zgodnie z wolą boga Enlila każdy mężczyzna powinien iść w ślady ojca i zapewne od Nabu-Szamasza też tego oczekiwano. Jednak wykształcenie, które odbierali skrybowie, otwierało także inne ścieżki kariery, z których najważniejsze było kapłaństwo, dlatego nasz bohater miał wiele możliwości wyboru zawodu.

Wiemy, jakie było wykształcenie Nabu-Szamasza, bo wiele informacji z tego okresu zachowało się na tabliczkach pisanych po sumeryjsku przez ludzi kształconych na skrybów. Z tych informacji wynika wprost, że Nabu-Szamasz, urodzony w zamożnej rodzinie, był szczęściarzem, ponieważ tylko dzieci rodziców należących do klasy wyższej miały szansę na naukę w szkołach dla skrybów. Rzeczywiście, edukacja stała na tak wysokim poziomie, że wielu zagranicznych bogaczy posyłało swych synów do miasta po naukę. Szkołę nazywano Domem Tabliczek, zapewne ze względu na gliniane tabliczki używane do zapisywania słów i cyfr. Miała dyrektora, nazywanego Biegłym w Piśmie albo Ojcem Domu Tabliczek. Byli tam także nauczyciel, do którego obowiązków należało głównie czuwanie nad zachowaniem uczniów, oraz nauczyciele sumeryjskiego i matematyki. I byli także prefekci, zwani Wielkimi Braćmi, którzy odpowiadali za utrzymanie porządku. Tak jak wszyscy uczniowie, Nabu-Szamasz mieszkał w domu i codziennie uczęszczał do szkoły, przez 24 dni w miesiącu. Miał trzy dni wolne na rekreację i trzy dni na uczestnictwo w uroczystościach religijnych. Nabu-Szamasz rozpoczął naukę od języka sumeryjskiego, zwłaszcza jego formy pisanej. Musiał się nauczyć tekstów gramatycznych i słowników i skopiować długie wykazy wyrażeń prawniczych, terminów technicznych, nazwisk. Później przyszła kolej na matematykę i wtedy jego nauka stała się dla nas bardzo interesująca. * Czego się uczył Nabu-Szamasz? Dla wszystkich, z wyjątkiem filozofów, logików i matematyków, którzy są drobiazgowi, liczba jest ciągiem cyfr. Gdy piszę to zdanie, jest rok 2006, czyli ciąg czterech cyfr. Ale pedanci przypomną nam zaraz, że ten ciąg nie jest wcale liczbą, jest tylko jej notacją, i do tego dość skomplikowaną formą notacji. Znany nam dobrze system dziesiętny składa się z dziesięciu cyfr, symboli od 0 do 9, służących do zapisu każdej liczby, jakkolwiek wielkiej. Rozszerzenie tego systemu pozwala także na zapisanie bardzo małych liczb, co więcej, pozwala także na zapis pomiarów numerycznych z bardzo dużą dokładnością. Prędkość światła, zgodnie z najnowszymi pomiarami, wynosi w przybliżeniu 299 792,458 kilometrów na sekundę. Jesteśmy tak zaznajomieni z tą notacją, że zapominamy, jak bardzo jest ona pomysłowa – i jak trudno ją pojąć za pierwszym razem. Zasadniczą własnością, na której wszystko się opiera, jest to, że liczbowa wartość symbolu takiego jak 2 zależy od tego, w jakim położeniu występuje względem innych symboli. Symbol 2 nie ma ustalonego znaczenia niezależnego od kontekstu, w jakim występuje. W liczbie reprezentującej prędkość światła cyfra 2 tuż przed znakiem dziesiętnym istotnie

oznacza dwa. Jednak na innej pozycji w tej liczbie 2 oznacza dwieście tysięcy. W dacie 2006 ta sama cyfra oznacza dwa tysiące. Gdyby zasady pisowni dopuszczały zmianę znaczenia litery w zależności od miejsca jej wystąpienia w słowie, bylibyśmy z tego szczególnie niezadowoleni. Zastanówmy się na przykład, co by się stało, gdyby oba „a” w słowie „alfabet” miały zupełnie inne znaczenia. Jednak system pozycyjny w przypadku liczb jest tak dogodny i skuteczny, że trudno wyobrazić sobie kogoś używającego innej metody. Nie zawsze tak było. Notacja, którą obecnie stosujemy, ma nie więcej niż 1500 lat, a w Europie pojawiła się trochę wcześniej niż 800 lat temu. Babiloński system liczbowy – 60 cyfr. Każdego dnia w różnych kulturach są używane odmienne symbole do zapisu tych samych cyfr dziesiętnych – spójrzmy na egipskie banknoty. Ale starożytni zapisywali liczby na najrozmaitsze dziwne sposoby. Prawdopodobnie najlepiej znany jest nam system rzymski, w którym 2006 ma postać MMVI. W starożytnej Grecji ta liczba wyglądałaby tak: β– ζ. Na miejscu naszych 2, 20, 200 i 2000 Rzymianie pisali: II, XX, CC i MM, a Grecy: β, κ, σ i β–. Babilończycy byli najwcześniejszą znaną nam kulturą, która używała systemu podobnego do naszej notacji pozycyjnej. Jednak była tam pewna zasadnicza różnica. W systemie dziesiętnym za każdym razem, gdy cyfra jest przesuwana o jedno miejsce w lewo, jej wartość numeryczna jest mnożona przez dziesięć. Tak więc 20 to dziesięć razy 2, a 200 to dziesięć razy 20. W systemie babilońskim każde przesunięcie w lewo równało się pomnożeniu cyfry przez sześćdziesiąt. Tak więc 20 oznaczałoby 2 razy 60 (czyli w naszej notacji 120), a 200 oznaczałoby 2 razy 60 razy 60 (7200 w naszej notacji). Oczywiście Babilończycy nie używali symbolu 2, zapisywali liczbę dwa za pomocą dwóch takich samych cienkich klinowatych symboli, jak pokazano na rysunku na poprzedniej stronie. Liczby od jednego do dziewięciu były pisane metodą grupowania odpowiedniej ilości klinów. Aby napisać liczbę większą

od dziewięciu, dodawano jeszcze jeden symbol, klin boczny, który oznaczał liczbę 10, i używano grup tych symboli do oznaczania 20, 30, 40 i 50. Dlatego na przykład 42 było wyrażone czterema klinami bocznymi, po których następowały dwa cienkie kliny. Z powodów, których możemy się tylko domyślać, system ten kończył się na 59. Babilończycy nie grupowali sześciu klinów bocznych, aby zapisać 60. Zamiast tego powracali do jednego cienkiego klina, który wcześniej oznaczał jeden, i używali go do oznaczenia „jeden razy sześćdziesiąt”. Dwa takie kliny oznaczały 120. Ale oznaczały także dwa. Z kontekstu i z pozycji, w jakiej symbole występowały względem siebie, wynikało, które ze znaczeń należy wybrać. Na przykład gdy były dwa cienkie kliny, odstęp i jeszcze dwa cienkie kliny, to pierwsza grupa oznaczała 120, a druga dwa – zupełnie jak dwa symbole 2 w naszym 22 oznaczają dwadzieścia i dwa. Ta metoda dotyczyła także znacznie większych liczb. Wysoki, cienki klin mógł oznaczać 1 albo 60, albo 60 × 60 = 3600, albo 60 × 60 × 60 = 216 000 i tak dalej. Trzy grupy znaków u dołu rysunku oznaczają 60 × 60 + 3 × 60 + 12, co my zapisujemy jako 3792. Dużą niedogodnością jest tu to, że system ma pewne niejednoznaczności. Jeśli widzimy dwa długie, cienkie kliny, to czy oznaczają one 2, 60 × 2, czy 60 × 60 × 2? Czy klin boczny, po którym następują dwa cienkie kliny, oznacza 12 × 60 + 2, czy 12 × 60 × 60 + 2 albo czy 10 × 60 × 60 + 2 × 60? Do czasów Aleksandra Wielkiego Babilończycy usunęli te niejednoznaczności poprzez wprowadzenie pary klinów diagonalnych do oznaczenia, że żadna cyfra nie zajmuje danej pozycji; w efekcie wynaleźli symbol zera. Dlaczego Babilończycy używali systemu sześćdziesiętnego zamiast znanego nam dziesiętnego? Może miała na to wpływ bardzo użyteczna cecha liczby 60: ma ona wiele podzielników. Jest bowiem bezpośrednio podzielna przez liczby: 2, 3, 4, 5 i 6. Jest także podzielna przez 10, 12, 15, 20 i 30. Ta cecha jest bardzo przydatna, gdy dochodzi do podziału pomiędzy kilku ludzi takich rzeczy, jak ziarno albo ziemia. Ostatecznie mogła zadecydować babilońska metoda pomiaru czasu. Wydaje się, że dla Babilończyków bardzo dogodny był podział roku na 360 dni, choć jako doskonali astronomowie wiedzieli, że 365 to znacznie lepsza liczba, a 365 i ¼ jeszcze lepsza. Urok arytmetycznej zależności 360 = 60 × 60 był zbyt silny. Rzeczywiście, w odniesieniu do czasu, Babilończycy zawiesili używanie reguły, że przesunięcie cyfry o jedną pozycję w lewo mnoży ją przez sześćdziesiąt, i zamienili to na sześć, tak więc to, co miało oznaczać 3600, w istocie było interpretowane jako 360. To wyróżnienie 60 i 360 pozostało w użyciu do dzisiaj przy podziale pełnego kąta na 360 stopni – jeden stopień odpowiada jednemu babilońskiemu dniu – oraz przy podziale minuty na 60 sekund i godziny na 60 minut. Konwencje starożytnych kultur mają niesamowitą moc trwania. Bardzo zabawnie wygląda datowanie filmów przez wytwórnie za pomocą cyfr rzymskich.

* Nabu-Szamasz uczyłby się tego wszystkiego, oprócz symbolu zera, w bardzo początkowym stadium swej edukacji. Stałby się mistrzem w szybkim wytłaczaniu tysięcy drobnych znaków pisma klinowego w mokrej glinie. I tak jak dzisiejsi uczniowie borykają się z trudnościami, przechodząc od nauki liczb całkowitych do ułamkowych i ich dziesiętnego rozwinięcia, Nabu-Szamasz musiałby się nauczyć babilońskiej metody zapisywania jednej drugiej lub jednej trzeciej albo jeszcze bardziej skomplikowanych podziałów jedności, a wszystko to ze względu na brutalne realia obserwacji astronomicznych. Aby uniknąć pisania przez całe popołudnie klinowych cyfr, uczniowie stosują mieszaninę nowych i starych znaków. Piszą liczby dziesiętne za pomocą odpowiednich grup znaków klinowych, używając przecinków do oddzielania grup. Dlatego ostatnia grupa na rysunku z babilońskim systemem liczbowym będzie zapisana jako 1,3,12. Ta konwencja pozwoli nam zaoszczędzić na kosztownym składzie i ułatwi odczytanie zapisu, dlatego zgodzimy się z uczniami. Jak babiloński skryba napisałby liczbę jedna druga? W naszej konwencji problem ten rozwiązujemy na dwa sposoby. Albo wyrażamy liczbę w postaci ułamka ½, albo wprowadzamy słynny przecinek dziesiętny i piszemy po prostu 0,5. Notacja ułamkowa jest bardziej intuicyjna i historycznie wcześniejsza; notację dziesiętną trudniej pojąć, ale jest ona bardziej przydatna do wykonywania obliczeń, ponieważ jej symbolizm stanowi naturalne rozszerzenie zasady miejsce– wartość dotyczącej liczb całkowitych. Symbol 5 w 0,5 oznacza „5 dzielone przez 10,” a w 0,05 oznacza „5 dzielone przez 100”. Przesunięcie cyfry o jedno miejsce w lewo oznacza jej pomnożenie przez 10, przesunięcie cyfry o jedno miejsce w prawo jest równoważne z jej podzieleniem przez 10. Wszystko to jest praktyczne i usystematyzowane. W rezultacie arytmetyka dziesiętna jest podobna do arytmetyki liczb całkowitych, z tym wyjątkiem, że trzeba uważnie śledzić, gdzie przesuwamy przecinek dziesiętny. Babilończycy myśleli podobnie, ale opierali się na podstawie 60. Ułamek ½ powinien być pewną wielokrotnością ułamka 1/60. Oczywiście prawidłową liczbą jest 30/60, dlatego jedną drugą zapisali jako 0;30, tu uczniowie użyli średnika jako „przecinka sześćdziesiętnego”, co w piśmie klinowym powinno mieć odzwierciedlenie w postaci odpowiednich odstępów. Babilończycy byli zdolni do przeprowadzania całkiem skomplikowanych działań: na przykład dla nich wartość pierwiastka z dwóch wynosiła 1;24,51,10, co od prawdziwej wartości różni się o jedną część na sto tysięcy. Ta precyzja znajduje wyraz w ich astronomii teoretycznej i obserwacyjnej.

* Ze względu na nasze zainteresowanie symetrią, najciekawszą techniką, jakiej uczyłby się Nabu-Szamasz, jest rozwiązywanie równań kwadratowych. Wiemy całkiem sporo o babilońskich metodach rozwiązywania równań. Z około miliona tabliczek babilońskich, które pozostały, prawie pięćset ma związek z matematyką. W 1930 r. orientalista Otto Neugebauer zdał sobie sprawę, że jedna z tabliczek zawiera wiedzę o czymś, co dzisiaj nazywamy równaniami kwadratowymi. Są to równania, które zawierają wielkość niewiadomą i jej kwadrat oraz inne określone liczby. Bez niewiadomej w kwadracie takie równanie nazwano by liniowym i łatwo by je rozwiązano. Równanie, które zawiera sześcian liczby niewiadomej (kwadrat niewiadomej pomnożony jeszcze raz przez nią samą), jest nazywane sześciennym. Babilończycy, zdaje się, mieli całkiem sprytną metodę rozwiązywania pewnego typu równań sześciennych, opartą na tablicach numerycznych. Jednak wszystko, co o niej dzisiaj wiemy, to tylko te tablice. Możemy przypuszczać, do czego mogły służyć; rozwiązywanie równań sześciennych jest najbardziej prawdopodobnym ich zastosowaniem. Jednak tabliczki, które studiował Neugebauer, świadczyły w pełni o biegłości skrybów babilońskich w sztuce rozwiązywania równań kwadratowych. Typowe równanie, pochodzące sprzed 4 tysięcy lat, wymaga rozwiązania problemu: „Znajdź bok kwadratu, jeśli jego pole minus bok wynosi 14,30”. Żeby je rozwiązać, trzeba rozważyć kwadrat niewiadomej (pole kwadratu) oraz samą niewiadomą. Innymi słowy, czytelnik staje przed zadaniem rozwiązania równania kwadratowego. Ta sama tabliczka bezceremonialnie podaje rozwiązanie: „Weź połowę jedności, co wynosi 0;30. Pomnóż 0;30 przez 0;30, co daje 0;15. Dodaj to do 14,30 i otrzymasz 14,30;15. To jest równe kwadratowi 29;30. Teraz dodaj 0;30 do 29;30. W rezultacie otrzymasz 30, bok kwadratu”. Co tutaj się dzieje? Zapiszmy wszystkie kroki we współczesnej notacji. Weź połowę z jedności, co wynosi 0;30. ½ Pomnóż 0;30 przez 0;30, co daje 0;15. ¼ Dodaj to do 14,30 i otrzymasz 14,30;15. 870¼ To jest równe kwadratowi 29;30. 870¼ = (29½) × (29½) Teraz dodaj 0;30 do 29;30. 29½ + ½ W rezultacie otrzymasz 30, bok kwadratu. 30 Najbardziej skomplikowany jest czwarty krok – znajdujemy wówczas liczbę (jest nią

29½), której kwadrat wynosi 870¼. Liczba 29½ jest pierwiastkiem kwadratowym z 870¼. Pierwiastki kwadratowe są głównym narzędziem służącym do rozwiązywania równań kwadratowych, a współczesna algebra narodziła się wtedy, gdy matematycy zaczęli używać podobnych metod do rozwiązywania bardziej skomplikowanych równań. Później wyjaśnimy ten problem, wykorzystując współczesną notację algebraiczną. Istotne jest jednak uświadomienie sobie, że Babilończycy nie stosowali wzorów algebraicznych jako takich. Zamiast tego opisywali odpowiednią procedurę, prowadzącą do rozwiązania, tak jak w poprzednim przykładzie. Doskonale zdawali sobie sprawę z tego, że ta sama procedura jest poprawna, gdy podstawimy inne liczby. Podsumowując, wiedzieli, jak rozwiązywać równania kwadratowe, a ich metoda – choć w nieco zmienionej formie – jest przez nas używana do dzisiaj. * Jak Babilończycy odkryli swą metodę rozwiązywania równań kwadratowych? Nie ma bezpośrednich na to dowodów, ale wydaje się prawdopodobne, że wpadli na nią, myśląc w sposób geometryczny. Rozważmy łatwiejszy problem, który prowadzi do tego samego rozwiązania. Przypuśćmy, że znaleźliśmy tabliczkę, na której napisano: „Znajdź bok kwadratu, jeśli jego powierzchnia plus dwa boki wynosi 24”. Wyrażając to bardziej współcześnie, zadanie to sformułujemy następująco: kwadrat niewiadomej plus dwa razy niewiadoma równa się 24. Możemy to zagadnienie wyrazić za pomocą rysunku. Obraz geometryczny równania kwadratowego. Tutaj kwadrat i oba prostokąty odpowiadające rozmiarowi boku kwadratu, umieszczone po lewej stronie znaku równości, reprezentują niewiadome, a małe kwadraciki po prawej stronie mają jednostkową powierzchnię. Jeśli prostokąty rozdzielimy i przylepimy do boków kwadratu, to otrzymamy kształt kwadratu z brakującym jednym narożem. Obrazek sugeruje, że powinniśmy „dokończyć kwadrat”

przez dodanie brakującego naroża (zacieniony kwadracik) do obu stron równania. Uzupełnianie kwadratu. Teraz mamy kwadrat po lewej i 25 jednostek po prawej. Rozmieszczamy je inaczej, nadając im kształt kwadratu o boku pięć. Teraz rozwiązanie jest oczywiste. W ten sposób nieznane plus jeden w kwadracie równa się pięć w kwadracie. Po uwzględnieniu pierwiastków kwadratowych z obu stron niewiadoma plus jeden równa się pięć – i nie trzeba być teraz geniuszem, aby wydedukować, że niewiadoma równa się cztery. Ta geometryczna prezentacja odpowiada dokładnie babilońskiej metodzie rozwiązywania równań kwadratowych. Do rozwiązania bardziej skomplikowanego zadania z tabliczki wykorzystuje się ten sam przepis. Sposób ten jest umieszczony na tabliczce; nie wiemy, skąd pochodzi, lecz obraz geometryczny pasuje do innych dowodów.

Rozdział 2 Dobrze znana postać Wielu wielkich matematyków starożytnego świata żyło w egipskim mieście Aleksandrii, którego początków należy szukać pośród pięciu wielkich oaz położonych na zachód od Nilu, na Pustyni Zachodniej. Jedną z nich jest Siwa, znana ze swych słonych jezior, które powiększają się zimą i kurczą w letnim skwarze. Sól zanieczyszcza grunt i przyprawia archeologów o ból głowy, ponieważ powoli niszczy strukturę budowli, penetrując starożytny kamień i cegły mułowe. Najpopularniejszym miejscem wycieczek w Siwie jest Aghurmi, gdzie stoją pozostałości świątyni boga Amona. Boskość Amona przejawiała się w całkowicie abstrakcyjnym charakterze jego postaci, lecz miał on także cząstkę fizyczną, pochodzącą od boga Re, Słońca. Świątynia Amona, zbudowana za XXVI dynastii, była siedzibą znanej wyroczni, jest też kojarzona z dwoma ważnymi zdarzeniami. Pierwsze to unicestwienie armii Kambyzesa II, króla perskiego, który podbił Egipt. Podobno w 523 r. p.n.e. Kambyzes planował użyć wyroczni Amona do legitymizacji swych rządów w Egipcie i w tym celu wysłał swą armię na Pustynię Zachodnią. Armia dotarła do oazy Baharija, ale potem zaginęła w burzy piaskowej podczas marszu na Siwę. Wielu egiptologów podejrzewa, że „zaginiona armia Kambyzesa” może być mitem, ale w roku 2000 zespół badawczy z Uniwersytetu Helwan, poszukując ropy, znalazł w tamtych okolicach kawałki odzieży, metalu oraz szczątki ludzkie i zasugerował, że mogą to być pozostałości po zaginionej armii. Drugie zdarzenie, które zaszło dwa wieki później, jest faktem historycznym – to brzemienna w skutki wizyta Aleksandra Wielkiego w Siwie, który poszukiwał dokładnie tego samego co Kambyzes. * Aleksander był synem Filipa II, króla Macedonii. Filip został zamordowany w czasie zaślubin swej córki Kleopatry Macedońskiej z królem Epiru Aleksandrem. Zabójcą mógł być kochanek Filipa Pauzaniasz, który był na niego wściekły za to, że nie uczynił