WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Roz - ACZEL AMIR D(brak polskich znaków).pdf

WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA NA ŒCIE¯KACH NAUKI W 1997 roku w serii ukaza³y siê: Krzysztof Ciesielski, Zdzis³aw Pogoda: Diamenty matematyki Rudolf Kippenhahn: Na tropie tajemnic S³oñca Ken Croswell: Alchemia nieba. Opowieœæ o Drodze Mlecznej, gwiazdach i astronomach Francis Crick: Zdumiewaj¹ca Hipoteza, czyli nauka w poszukiwaniu duszy Robert Zubrin, Richard Wagner: Czas Marsa. Dlaczego i w jaki sposób musimy skolonizowaæ Czerwon¹ Planetê Peter Coveney, Richard Highfieid: Granice z³o¿onoœci. Poszukiwania porz¹dku w chaotycznym œwiecie Roger Penrose: Makroœwiat, mikroœwiat i ludzki umys³ Susan Quinn: ¯ycie Marii Curie >-^^-sffV^- W 1998 roku w serii ukaza³y siê: James Shreeve: Zagadka neandertalczyka. W poszukiwaniu rodowodu wspó³czesnego cz³owieka Donald Goidsmith: Najwiêksza pomy³ka Einsteina? Sta³a kosmologiczna i inne niewiadome w fizyce Wszechœwiata Frank E. Manuel: Portret Izaaka Newtona J. D. Macdougall: Krótka historia Ziemi. Góry, ssaki, ogieñ i lód W przygotowaniu: Michael White, )ohn Gribbin: Darwin. ¯ywot uczonego Igor Nowikow: Rzeka czasu AMIR D. ACZEL WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Rozwi¹zanie zagadki starego matematycznego problemu Prze³o¿y³ Pawe³ Strzelecki Prószy^ski i ^l

Tytu³ orygina³u FERMATS LAST THEOREM Uniocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem Copyright(c)1996 by Amir D. Aczel Ali rights reserved Projekt ok³adki Katarzyna A. jarnuszkiewicz Zdjêcie na ok³adce Science Photo Library/EAST NEWS Rysunki na podstawie wydania amerykañskiego Krzysztof Biatkowski ISBN 83-7180-655-8 Wydawca Prószyñski i S-ka 02-651 Warszawa, ul. Gara¿owa 7 Druk i oprawa £ódzka Drukarnia Dzie³owa Spó³ka Akcyjna ul. Rewolucji 1905 r. nr 45, £ódŸ Pierrre de Fermat (1601-1665). S£OWO WSTÊPNE W czerwcu 1993 roku stary przyjaciel z Kalifornii, Tom Schulte, odwiedzi³ mnie w Bostonie. Siedzieliœmy w s³onecznej kawiarni na chodniku Newburry Street, a przed nami sta³y napoje w wysokich, oszronionych szklankach. Tom przerwa³ g³êbokie rozmyœlania nad niedawnym rozwodem, zwróci³ siê w moj¹ stronê i rzek³: "Przy okazji, w³aœnie udowod- niono wielkie twierdzenie Fermata". Pomyœla³em, ¿e to na pew- no jakiœ nowy ¿art, a Tom z powrotem zacz¹³ wpatrywaæ siê

w chodnik. Dwadzieœcia lat wczeœniej Tom i ja byliœmy studentami ma- tematyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley i dzielili- œmy ten sam pokój w akademiku. Wielkie twierdzenie Fermata by³o czêstym tematem naszych rozmów. Dyskutowaliœmy te¿ o funkcjach, zbiorach, cia³ach i topologii. Kto by³ studentem matematyki, nie sypia³ wiele, gdy¿ nasza droga ¿yciowa je¿y³a siê wprost od trudnoœci. To w³aœnie odró¿nia³o nas od studen- tów wiêkszoœci innych dziedzin. Czasem nawet drêczy³y nas noc¹ matematyczne koszmary - trzeba by³o udowodniæ to czy inne twierdzenie, zanim nadejdzie ranek. Ale wielkie twierdze- nie Fermata? Nikt nigdy nie wierzy³, ¿e zostanie udowodnione za naszego ¿ycia. Twierdzenie by³o tak trudne l tak wielu ludzi próbowa³o siê z nim zmierzyæ przez ponad trzysta lat. Mieliœmy 8 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA te¿ œwiadomoœæ, ¿e poszukiwania dowodu doprowadzi³y do rozwiniêcia nowych ga³êzi matematyki. Ale próby, jedna za drug¹, wiod³y donik¹d, a wielkie twierdzenie Fermata sta³o siê symbolem nieosi¹galnego. Pewnego razu owa aura nieosi¹galnoœci i niemo¿noœci przy- nios³a ml nawet korzyœæ. By³o to parê lat póŸniej, równie¿ w Berkeley, gdy ukoñczy³em ju¿ matematykê i robi³em w³aœnie magisterium z badañ operacyjnych. Pewien arogant szykuj¹cy doktorat z matematyki, nieœwiadomy mojego przygotowania w tej dziedzinie, zaoferowa³ mi pomoc, gdy spotkaliœmy siê w miejscu wspólnego zamieszkania, w International House: "Zajmujê siê matematyk¹ teoretyczn¹. Gdybyœ mia³ kiedykol- wiek jakieœ zadanie z matematyki, którego nie umiesz rozwi¹- zaæ, wal do mnie jak w dym". Chcia³ odejœæ, gdy powiedzia³em: "Hmmm, no tak... Jest coœ, w czym móg³byœ mi pomóc..." Zwróci³ siê w moj¹ stronê, mówi¹c: "Jasne, poka¿, o co cho- dzi", a Ja na rozpostartej serwetce (byliœmy w³aœnie w jadami) napisa³em powoli: x" + y" = z" nie ma ¿adnych rozwi¹zañ ca³kowitych dodatnich, gdy n. jest wiêksze od 2. "Od wczorajszego wieczoru usi³ujê to udowodniæ" - powiedzia- ³em, podaj¹c mu serwetkê. Widzia³em, jak zblad³, a potem burkn¹³: "Wielkie twierdzenie Fermata". "Tak - odpar³em. - Zajmujesz siê matematyk¹ teoretyczn¹, czy móg³byœ mi po- móc?" Nigdy wiêcej nie ogl¹da³em Jego twarzy z bliska.

"Mówiê powa¿nie - powiedzia³ Tom, koñcz¹c drinka. - An- drew Wi³eœ. Udowodni³ wielkie twierdzenie Fermata w Cam- bridge w zesz³ym miesi¹cu. Zapamiêtaj to nazwisko, jeszcze o nim us³yszysz". Wieczorem Tom polecia³ z powrotem do Kali- fornii, a ja w ci¹gu nastêpnych miesiêcy przekona³em siê, ¿e przyjaciel wcale ze mnie nie ¿artowa³. Na moich oczach Wi³eœ najpierw by³ oklaskiwany i wychwalany, potem znaleziono lukê w jego dowodzie, potem wycofa³ siê i ukry³ na rok, by wreszcie pojawiæ siê znów z poprawionym dowodem. Œledz¹c tê niekoñcz¹c¹ siê opowieœæ, dowiedzia³em siê równie¿, ¿e Tom S£OWO WSTÊPNE • 9 nie mia³ racji. Zwracaæ uwagê nale¿a³o nie tylko na nazwisko Andrew Wilesa. Powinienem by³ - albo raczej powinniœmy byli wszyscy - wiedzieæ, ¿e dowód wielkiego twierdzenia Fermata wykracza daleko poza pracê jednego matematyka. Na równi z Wilesem laury nale¿¹ siê tak¿e Renowi Rlbetowi, Bany'emu Mazurowi, Góro Shimurze, Yutace Taniyamie, Gerhardowi Freyowi i wielu innym. Ta ksi¹¿ka opowie Warn ca³¹ historiê, tak¿e tê zakulisow¹, rozgrywaj¹c¹ siê z dala od œwiate³ sceny l gazetowego zgie³ku. Bêdzie to tak¿e historia intryg, podstêpu oraz zdrady. Moje wtasne doœwiadczenia z uprawianiem matematyki mo¿na chyba najlepiej oddaæ, porów- nuj¹c je do zwiedzania ciemnego gmaszyska. Wchodzê do pierwszego pokoju; jest ciemno, zupe³nie ciemno. Drepczê w kotko i wpadam na meble, dowiaduj¹c siê stopniowo, gdzie s¹ ustawione. Po jakichœ szeœciu miesi¹cach znaj- dujê wy³¹cznik i naciskam go. Œwiat³o zalewa na- gle wszystko i wreszcie mogê zobaczyæ, gdzie je- stem. A potem wchodzê do nastêpnego ciemnego pokoju... Tymi s³owami profesor Andrew Wi³eœ opisywa³ swo- je siedmioletnie poszukiwania matematycznego œwiêtego Graala. Tu¿ przed œwitem 23 czerwca 1993 roku profesor John

Conway przyszed³ na pogr¹¿ony w ciemnoœciach Wydzia³ Matematyki Uniwersytetu w Princeton. Otworzy³ drzwi fronto- we w³asnym kluczem i wbieg³ szybko po schodach do swojego gabinetu. W ci¹gu tygodni poprzedzaj¹cych wyjazd Jego kolegi, Andrew Wilesa, do Anglii w œwiatku matematyków uporczywie kr¹¿y³y niejasne plotki. Conway oczekiwa³ wiêc, ¿e wydarzy siê coœ wa¿nego (nie mia³ jednak pojêcia co). W³¹czy³ swój kompu- ter l zasiad³ do biurka, gapi¹c siê w ekran. O 5:53 z drugiej strony Atlantyku nadesz³a lakoniczna wiadomoœæ, przes³ana poczt¹ elektroniczn¹: "Wi³eœ dowodzi WTF". Cambridge, Anglia, czerwiec 1993 W drugiej po³owie czerwca 1993 roku profesor Andrew Wi³eœ polecia³ do Anglii. Wraca³ na Uniwersytet w Cambridge, gdzie przed dwudziestu laty by³ doktorantem. Jego ówczesny promo- tor, profesor John Coates, organizowa³ w Cambridge konferen- cjê poœwiêcon¹ teorii Iwasawy, o której Wi³eœ wiedzia³ bardzo du¿o, jego doktorat bowiem dotyczy³ tego w³aœnie fragmentu teorii liczb. Coates poprosi³ swego by³ego studenta, by zechcia³ 12 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA wyg³osiæ na konferencji krótki, godzinny wyk³ad na wybrany przez siebie temat. Ku zaskoczeniu jego l pozosta³ych organi- zatorów, zazwyczaj nieœmia³y i niechêtnie przemawiaj¹cy przed publicznoœci¹ Wi³eœ zapyta³, czy nie móg³by na swe wyst¹pie- nie dostaæ trzech godzin zamiast jednej. Przybywaj¹c do Cambridge, czterdziestoletni Wi³eœ wygl¹da³ jak typowy matematyk: bia³a koszula z niestarannie podwiniê- tymi rêkawami, okulary w grubej, rogowej oprawie, nieporz¹d- ne kosmyki rzedn¹cych, jasnych w³osów. Wi³eœ urodzi³ siê w Cambridge l by³ to dla niego bardzo szczególny powrót do domu, powrót po³¹czony ze spe³nieniem dzieciêcych marzeñ. W pogoni za tymi marzeniami Andrew Wi³eœ spêdzi³ ostatnie siedem lat ¿ycia na w³asnym poddaszu niemal jak wiêzieñ. Mia³ jednak nadziejê, ¿e wyrzeczenia, lata zmagañ i d³ugie go- dziny samotnoœci skoñcz¹ siê wkrótce, a on bêdzie móg³ wiêcej czasu spêdzaæ z ¿on¹ i córkami, których przez siedem lat w³a- œciwie prawie nie widywa³. Rzadko pokazywa³ siê na rodzin- nych obiadach i podwieczorkach, a na kolacjê zd¹¿a³ z ledwo- œci¹. Za to teraz czu³, ¿e zbierze wszystkie nale¿ne mu laury. Instytut Nauk Matematycznych sir Izaaka Newtona w Cam- bridge otwarto nied³ugo przed przyjazdem profesora Wilesa,

który mia³ tam wyg³osiæ trzygodzinne wyk³ady. Instytut jest przestronny, po³o¿ony w malowniczym otoczeniu w pewnej od- leg³oœci od Uniwersytetu w Cambridge. Szerokie przestrzenie na zewn¹trz sal wyk³adowych wyposa¿ono w miêkkie, wygod- ne krzes³a, zaprojektowane z myœl¹, by panom matematykom u³atwiæ nieformaln¹ wymianê pomys³ów, a tym samym rozwi- jaæ naukê. Wi³eœ, choæ zna³ wiêkszoœæ matematyków przyby³ych ze œwiata na bardzo specjalistyczn¹ konferencjê, trzyma³ siê na uboczu. Gdy kolegów zaciekawi³o, dlaczego planuje tak d³ugie wyst¹pienie. Wi³eœ odpowiada³, ¿e powinni sami przyjœæ na je- go wyk³ady po to, ¿eby dowiedzieæ siê, o czym bêdzie mowa. By³a to tajemniczoœæ niezwyk³a nawet jak na matematyka. Wprawdzie przedstawiciele tej profesji czêsto pracuj¹ samotnie nad dowodami twierdzeñ i wiadomo powszechnie, ¿e nie s¹ najbardziej towarzyskimi ludŸmi na œwiecie, ale jednak wyni- AMIR D, ACZEL • 13 kami swych badañ zazwyczaj siê dziel¹. Rezultaty swej pracy matematycy rozprowadzaj¹ bez ograniczeñ w formie tzw. pre- printów (wydruków wstêpnych), zbieraj¹c dziêki temu komen- tarze otoczenia, pomocne póŸniej, gdy trzeba nadaæ ostateczn¹ formê artyku³owi tu¿ przed opublikowaniem. Ale Wi³eœ nie wrêcza³ preprintów i nie dyskutowa³ o swej pracy. Tytu³ jego wyk³adów: Formy modu³owe, krzywe eliptyczne i reprezentacje Galois nie pozwala³ nawet specjalistom domyœliæ siê, w któr¹ stronê zmierza autor. W miarê up³ywu czasu atmosfera gêst- nia³a od plotek. Ju¿ pierwszego dnia Wi³eœ nagrodzi³ zainteresowanie dwu- dziestu s³uchaczy zebranych w skupieniu na jego wyk³adzie nieoczekiwanym l potê¿nym twierdzeniem, a przecie¿ to byt dopiero pocz¹tek. Zosta³y mu jeszcze dwa wyk³ady. Co mia³y przynieœæ? Dla wszystkich sta³o siê jasne, ¿e wyk³ady Wilesa to miejsce, gdzie nale¿y bywaæ. Napiêcie ros³o w miarê gro- madzenia siê w sali wyk³adowej t³umu wyczekuj¹cych mate- matyków. Drugiego dnia Wi³eœ zwiêkszy³ tempo wyk³adu, przynosz¹c ze sob¹ ponad dwieœcie stron zape³nionych wzorami i rachun- kami; formu³owa³ nowe twierdzenia i ich d³ugie, abstrakcyjne dowody. Sala by³a wype³niona po brzegi. Wi³eœ znów nie da³ ni- komu poznaæ, dok¹d w³aœciwie zmierza, pisz¹c beznamiêtnie

kred¹ po tablicy. Gdy nadszed³ czas na przerwê, znikn¹³ z sali. Nastêpnego dnia, w œrodê 23 czerwca 1993 roku, odby³ siê jego ostatni wyk³ad. Zbli¿aj¹c siê do sali wyk³adowej. Wi³eœ musia³ torowaæ sobie drogê w t³umie. Ludzie stali na zewn¹trz, blokuj¹c wejœcie, a sala pêka³a w szwach. Wiele osób mia³o ze sob¹ aparaty fotograficzne. Gdy Wi³eœ ponownie wype³nia³ ta- blicê nie koñcz¹cymi siê wzorami l twierdzeniami, emocje siêg- nê³y zenitu. "Wyk³ad Wilesa móg³ mieæ tylko jedn¹ kulminacjê, tylko jedno zakoñczenie" - powiedzia³ ml póŸniej profesor Ken Ribet z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. Wi³eœ koñ- czy³ ostatnie linijki swego dowodu enigmatycznej i zawi³ej hi- potezy, tzw. hipotezy Shimury-Taniyamy. A potem dopisa³ jeszcze jedn¹, ostatni¹ ju¿ linijkê, zawieraj¹c¹ przeformu³owa- n¹ wersjê twierdzenia sprzed stuleci, wersjê, która, jak to udo- 14 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA wodni³ siedem lat wczeœniej Ken Rlbet, wynika³aby z owej hi- potezy. "I to dowodzi wielkiego twierdzenia Fermata - rzek³ skromnie. - Myœlê, ¿e na tym skoñczê". Przez moment na sali panowa³a pe³na zdumienia cisza, po- tem zaœ wybuch³y spontaniczne gromkie brawa. W b³ysku fleszy wszyscy wstawali, by podejœæ z gratulacjami do rozpro- mienionego Wilesa. Parê minut póŸniej faksy l poczta elektro- niczna na ca³ym œwiecie poinformowa³y o tym, ¿e najs³awniej- szy problem matematyczny wszech czasów zosta³ w³aœnie rozwi¹zany. "Najbardziej nieoczekiwany by³ potop dziennikarzy, który zala³ nas nastêpnego dnia" - wspomina³ profesor John Coates, który zorganizowa³ konferencjê, nie maj¹c pojêcia, ¿e bêdzie ona scen¹ tak znamienitych osi¹gniêæ. Na ca³ym œwiecie posy- pa³ siê istny grad gazetowych nag³ówków, donosz¹cych o nie- oczekiwanym prze³omie. "New York Times" z 24 czerwca 1993 roku obwieszcza³ na pierwszej stronie: "Nareszcie okrzyk •eureka!« w sprawie matematycznej tajemnicy sprzed stuleci". "Washington Post" w du¿ym artykule nazwa³ Wilesa "pogrom- c¹ matematycznych smoków". Wszêdzie opisywano osobê, któ- ra najwyraŸniej rozwi¹za³a problem matematyczny, opieraj¹cy siê ludzkim wysi³kom przez ponad 350 lat. W ci¹gu Jednej no- cy spokojny i ceni¹cy sobie prywatnoœæ Andrew Wi³eœ trafi³ na usta wszystkich. Pierre de Fermat

Plerre de Fermat byt siedemnastowiecznym francuskim praw- nikiem, a tak¿e mi³oœnikiem matematyki. Z formalnego punk- tu widzenia by³ "amatorem", poniewa¿ na co dzieñ wykonywa³ zawód prawnika. Niemniej ¿yj¹cy na pocz¹tku dwudziestego wieku znany historyk matematyki, E. T. Beli, trafnie nazwa³ Fermata "ksiêciem amatorów". Jego zdaniem Fermat mia³ wœród swych osi¹gniêæ wiêcej wa¿nych rezultatów ni¿ wiêk- szoœæ wspó³czesnych mu "zawodowych" matematyków. Beli twierdzi³ nawet, ¿e Fermat to najbardziej p³odny matematyk AMIR-D. ACZEL • 15 siedemnastego stulecia; stulecia, które sk¹din¹d by³o aren¹ dzia³añ kilku najtê¿szych matematycznych umys³ów wszech czasów.³ Na trzynaœcie lat przed urodzeniem slr Izaaka Newtona Fer- mat rozwin¹³ podstawowe idee rachunku ró¿niczkowego. By³o to Jedno z jego najbardziej osza³amiaj¹cych osi¹gniêæ. Na ogó³ bowiem uwa¿a siê, ¿e to Newton oraz wspó³czesny mu Got- tfried Wilhelm Leibniz stworzyli teoriê - zwan¹ dziœ rachun- kiem ró¿niczkowym i ca³kowym - pozwalaj¹c¹ na zastosowa- nie matematyki do opisu ruchu, si³, przyspieszeñ, kszta³tu orbit cia³ niebieskich i innych zjawisk, które podlegaj¹ ci¹- g³ym zmianom. Fermat fascynowa³ siê dzie³ami matematycznymi staro¿yt- nych Greków. Byæ mo¿e do swej koncepcji podstaw rachunku ró¿niczkowego doszed³ w³aœnie podczas studiowania prac kla- syków matematyki greckiej, Archimedesa i Eudoksosa, ¿yj¹- cych odpowiednio w III i IV wieku p.n.e. Dzie³a staro¿ytnych, dostêpne wówczas w ³aciñskim przek³adzie, Fermat czytywa³ w ka¿dej wolnej chwili. Jako zdolny prawnik pracowa³, jeœli wolno tak powiedzieæ, na pe³nym etacie, lecz du¿o czasu poœwiêca³ swemu hobby. Pasjonowa³y go próby uogólniania dzie³a staro¿ytnych i odnajdywanie nowego piêkna w ich zapo- mnianych w ci¹gu wielu wieków odkryciach. Kiedyœ powie- dzia³: "Znalaz³em bardzo wiele niezmiernie piêknych twier- dzeñ". Owe twierdzenia Fermat mia³ zwyczaj notowaæ na marginesach egzemplarzy t³umaczeñ staro¿ytnych dzie³, które do niego nale¿a³y. Fermat by³ synem Dominlque'a Fermata, handlarza skóra- mi i zarazem drugiego konsula2 w mieœcie Beaumont-de-Lo- magne. Matk¹ uczonego by³a Klara de Long, która pochodzi³a

z rodziny sêdziowskiej. Fermat urodzi³ siê w sierpniu 1601 ro- ku (ochrzczono go 20 sierpnia w Beaumont-de-Lomagne). Ro- dzice wykszta³cili go na prawnika. Chodzi³ do szko³y w Tulu- 1 E. T. Beli: Men of Mathematics. Simon and Schuster, Nowy Jork 1937, s. 56. 2 Mianem konsulów w ówczesnej Francji okreœlano m.in. sêdziów wybran ych Spomiêdzy kupców (przyp. t³um.). 16 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Arichmcticorum Lib. II. 8$ tcru³lloqiudratorum,&Canoaes lidem biæ etiam locum h³bebunt, vi mn.f.- (luuitl³. O^ASTl O VIII. PnorOtiTYM qu*draium -T ON oftiS.yfic³^^ayym diu>derc,nduosquadr.(os. l ^^»s^e-n-^yl.^. i- Impcratum l" vi 16. diuidnur «., .<«-',»-.,,» in duos quadracos. Ponatur 'Bl»to^» ArtC A?j«» «(/low- ptimus« O^Oportr- igicur 16 9p«ty»ret(. <^ i*5t>3i*' o 'BCy-rec - l CL«q">l" e(rc ^"³drato. JUwifuusfUlLC. ^Ili *Ut ^'a- Finzo ouadralum a numens . - i i, o i -.' quo(quot l.bucrit, cum dcfc- ^ "r ^ •'W^-^ c³u tot vnitaium quot conii- «9 ³»>«JMra>. bunTur ynkaribu. .< -iCL o/•f(l•'^,/3 ^f* ^•,^W Comniunisadiiciarur virimquc «<»» i wp»)A)»et tran ^,''ir[A«'-»L³ (('³r'] ³«JUia im r.nturfiHulia. ficntJ Q«qu»- . ir^^-^"? W lei ic N. & fic i N. 7 Entiei- ^~ ^ /' • ~t '-v-J cnr altrr quadraionim T:-' . after "»"

ki Diofantosa z odrêcznym zapiskiem Fermata nigdy nie odnaleziono. z³e, a w 1631 roku, gdy mia³ trzydzieœci lat, zosta³ w tym mie- œcie referendarzem. W tym samym roku o¿eni³ siê z kuzynk¹ swej matki, Louise Long. Wkrótce na œwiat przysz³o trzech sy- nów i dwie córki. Prace ojca opublikowa³ po jego œmierci jeden z synów, Clernent Samuel, wykonawca testamentu Fermata. To w³aœnie z wydanej przez niego i przechowywanej do naszych czasów ksi¹¿ki, zawieraj¹cej prace uczonego, znamy s³awne wielkie twierdzenie Fermata. Clement Samuel de Fermat uzna³ AMIR D. ACZEL • 17 nagryzmolone na marginesie twierdzenie za fakt wa¿ny i doda³ je do kolejnego wydania Jednego z t³umaczeñ staro¿ytnych dzie³. Jak wynika z licznych opisów. Fermat wiód³ ¿ycie spokojne, stabilne, wolne od nieoczekiwanych i gwa³townych zdarzeñ. Pracowa³ godnie i uczciwie, w roku 1648 zosta³ mianowany na wa¿ne stanowisko radcy królewskiego w parlamencie Tuluzy.3 Piastowa³ Je a¿ do œmierci w 1665 roku. Bior¹c pod uwagê ogrom pracy Fermata na rzecz Korony Francuskiej, s³u¿bê któ- r¹ pe³ni³ umiejêtnie, sumiennie i z oddaniem, wielu historyków Jest zadziwionych, ¿e starcza³o mu jeszcze czasu i si³ umys³u na uprawianie pierwszorzêdnej matematyki, i to na du¿¹ ska- lê. Jeden z ekspertów francuskich sugeruje nawet, ¿e oficjalna praca Fermata by³a cenn¹ pomoc¹ w jego matematycznych studiach, do obowi¹zku bowiem francuskich radców parla- mentarnych nale¿a³o zmniejszenie do minimum liczby nieofi- cjalnych kontaktów (po to, by unikn¹æ pokusy ³apownictwa l innych przekupstw). Poniewa¿ Fermat z pewnoœci¹ potrzebo- wa³ odprê¿enia po ciê¿kiej pracy, a ¿ycie towarzyskie musia³ ograniczyæ, matematyka prawdopodobnie sta³a siê dlañ po¿¹- danym wytchnieniem. Pomys³y zwi¹zane z rachunkiem ró¿- niczkowym nie s¹ bynajmniej jedynym osi¹gniêciem Fermata. Dziêki Fermatowi rozkwit³a teoria liczb. Wa¿ne miejsce w tej teorii zajmuje pojêcie liczby pierwszej. Liczby pierwsze Liczby jeden, dwa i trzy s¹ liczbami pierwszymi.4 Liczba cztery nie jest pierwsza, bo jest iloczynem dwóch dwójek: 2x2=4. Liczba piêæ Jest pierwsza. Liczba szeœæ nie jest pierwsza, ponie- wa¿, podobnie jak cztery, jest iloczynem dwóch mniejszych

3 We Francji przed rewolucj¹ 1789 roku nazwa "parlament" oznacza³a s¹d (przyp. t³um.). 4 Zazwyczaj przyjmuje siê, ¿e liczba l nie jest ani pierwsza, ani z³o¿ona - jes t to kwestia doœæ powszechnie stosowanej umowy, któr¹ byæ mo¿e Czytelnik pamiê- ta ze szko³y (przyp. t³um.). 18 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA liczb: 2x3=6. Siedem jest liczb¹ pierwsz¹, osiem ni¹ nie jest (2x2x2=8), podobnie jak dziewiêæ (3 x 3 = 9) i dziesiêæ (2x5 = 10). Ale jedenaœcie znów jest liczb¹ pierwsz¹, poniewa¿ oprócz liii nie ma dwóch liczb naturalnych, których iloczyn by³by równy 11. Tê wyliczankê mo¿na przed³u¿yæ: 12 nie jest liczb¹ pierwsz¹, 13 jest, 14 nie jest, 15 nie jest, 16 nie jest, 17 jest l tak dalej. Nie widaæ tu ¿adnej wyraŸnej struktury. Nie mo¿na, na przyk³ad, powiedzieæ, ¿e co czwarta liczba jest pierwsza; bardziej skomplikowanych prawid³owoœci te¿ na pierwszy rzut oka dostrzec siê nie da. Ta sprawa fascynuje lu- dzi od czasów staro¿ytnych. Liczby pierwsze odgrywaj¹ w teorii liczb Istotn¹ rolê l ów brak ³atwej do zauwa¿enia struktury po- woduje, ¿e teoria liczb mo¿e siê wydawaæ dziedzin¹ niejednoli- t¹. Z tej samej przyczyny problemy teorii liczb s¹ izolowane i trudne; ich zwi¹zki z Innymi ga³êziami matematyki wydaj¹ siê nie zawsze jasne. Jak powiedzia³ Bany Mazur: "Teoria liczb produkuje bez wysi³ku niezliczone problemy, które wygl¹daj¹ s³odko i niewinnie jak kusz¹ce kwiatki; mimo to w teorii liczb a¿ roi siê od owadów, które czekaj¹ tylko, by zwabiæ i uk¹siæ mi³oœników kwiatków, a ci, raz uk¹szeni, pobudzani s¹ póŸniej do nadmiernych wysi³ków".5 S³awny dopisek na marginesie Fermata zauroczy³ czar liczb; odnajdywa³ w nich piêkno l zna- czenie. Sformu³owa³ wiele twierdzeñ teorii liczb. Jedno z nich orzeka na przyk³ad, ¿e ka¿da liczba postaci 22n + l (dwa, pod- niesione do potêgi o wyk³adniku równym dwa do potêgi n, do- daæ jeden) jest liczb¹ pierwsz¹. PóŸniej odkryto, ¿e to twierdze- nie jest fa³szywe. Istniej¹ bowiem liczby, które spe³niaj¹ powy¿szy warunek, ale nie s¹ pierwsze. Wœród ³aciñskich przek³adów staro¿ytnych tekstów Fermat szczególnie upodoba³ sobie ksi¹¿kê pod tytu³em Arithmenca, s Barry Mazur: Number Theory as Gadfiy, "American Mathematical Monthl

y" 98 (1991), s. 593. AMIR D. ACZEL • 19 której autorem by³ grecki matematyk Diofantos, ¿yj¹cy w III wieku naszej ery. Na marginesie swojego egzemplarza dzie³a Diofantosa, obok zadania o rozk³adaniu kwadratu liczby na sumê dwóch kwadratów. Fermat umieœci³ oko³o 1637 roku na- stêpuj¹cy dopisek po ³acinie: Wiadomo, ¿e nie mo¿na roz³o¿yæ szeœcianu na dwa szeœcia- ny ani bikwadratu na dwa bikwadraty, ani ¿adnej potêgi, oprócz kwadratu, na dwie inne potêgi o tym samym wyk³ad- niku. Odkry³em prawdziwie cudowny dowód tego faktu, jed- nak¿e ten margines jest zbyt w¹ski, by go zmieœciæ. To tajemnicze zdanie zapewni³o zajêcie wielu pokoleniom ma- tematyków, próbuj¹cych zrekonstruowaæ "prawdziwie cudow- ny dowód", który rzekomo Fermat zna³. Twierdzenie, ¿e choæ niektóre kwadraty liczb ca³kowitych mo¿na przedstawiæ w po- staci sumy kwadratów dwóch innych liczb ca³kowitych (na przyk³ad, kwadrat pi¹tki, czyli 25, Jest równy sumie kwadratu czwórki - 16 - i kwadratu trójki - 9), a nie da siê tego samego zrobiæ z szeœcianami ani ¿adnymi wy¿szymi potêgami, wygl¹da z³udnie prosto. W pocz¹tkach XIX wieku wszystkie inne twier- dzenia sformu³owane przez Fermata by³y ju¿ albo udowodnio- ne, albo obalone. Do rozstrzygniêcia pozosta³a tylko ta pozor- nie niewinna kwestia. Nadano jej nazwê wielkiego twierdzenia Fermata.6 Czy istotnie by³o ono prawdziwe? Udzielenie twier- dz¹cej odpowiedzi jest w naszym stuleciu zadaniem przekra- czaj¹cym nawet mo¿liwoœci komputerów. Komputer potrafi sprawdzaæ twierdzenie dla bardzo du¿ych liczb, nie pomo¿e jednak w sytuacji, gdy trzeba ustaliæ prawdziwoœæ czegokol- wiek dla wszystkich liczb. Mo¿na wypróbowaæ miliardy liczb, a l tak do sprawdzenia pozostanie ich nieskoñczenie wiele. Wyk³adników te¿ jest nieskoñczenie wiele. Dla uzasadnienia wielkiego twierdzenia Fermata potrzebny jest matematyczny dowód. 6 W literaturze anglojêzycznej powszechnie u¿ywa siê nazwy "ostatnie twie rdze- nie Fermata" (przyp. dum.).

20 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA W XIX wieku akademie nauk we Francji i Niemczech zaofe- rowa³y nagrody dla autora dowodu. Od tej pory co roku tysi¹ce matematyków i nawiedzonych amatorów wysy³a³o "dowody" do czasopism matematycznych i wydaj¹cych os¹d ekspertów. Na pró¿no. Lipiec-sierpieñ 1993: wykrycie fatalnego przeoczenia Gdy Wi³eœ schodzi³ z podestu przy tablicy w ow¹ pamiêtn¹ czerwcow¹ œrodê, wœród matematyków panowa³ ostro¿ny opty- mizm. Wydawa³o siê, ¿e tajemnica sprzed 350 lat wreszcie znalaz³a rozwi¹zanie. D³ugi dowód Wilesa, wymagaj¹cy stoso- wania skomplikowanych pojêæ matematycznych i teorii nie znanych nie tylko w czasach Fermata, lecz tak¿e przed nadej- œciem XX wieku, musia³ byæ sprawdzony przez niezale¿nych ekspertów. Pracê wys³ano do kilku czo³owych specjalistów. Byæ mo¿e siedem lat samotnych wysi³ków w pustelni na stry- chu mia³o siê wreszcie Wilesowi op³aciæ. Ale radoœæ trwa³a krótko: po paru tygodniach w rozumowaniu Wilesa wykryto lukê. Próbowa³ j¹ za³ataæ, ale luka nie chcia³a tak po prostu znikn¹æ. Peter Samak, matematyk z Princeton l bliski przyja- ciel Wilesa, obserwowa³ jego codzienne, pe³ne udrêki zmagania z dowodem, który dwa miesi¹ce wczeœniej zosta³ pokazany w Cambridge ca³emu œwiatu. "By³o to tak, jakby Andrew pró- bowa³ u³o¿yæ w pokoju za du¿y dywan - t³umaczy³ Samak. - Naci¹ga³ go i dywan œwietnie pasowa³ z Jednej strony pokoju, ale po drugiej stronie w³azi³ na œcianê; szed³ wiêc tam i œci¹ga³ go w dó³, a dywan wybrzusza³ siê w innym miejscu. Stwierdze- nie, czy dywan ma rozmiar dopasowany do pokoju, czy nie, przekracza³o jego mo¿liwoœci". Wi³eœ wróci³ na swój strych, a reporterzy "New York Timesa" i inni przedstawiciele mediów pozostawili go sam na sam z Jego zadaniem. Poniewa¿ czas p³yn¹³, a dowodu nie by³o, matematycy (i nie tylko) zaczêli siê zastanawiaæ, czy w ogóle wielkie twierdzenie Fermata jest prawdziwe. Wi³eœ zdo³a³ wprawdzie na chwilê przekonaæ œwiat, AMIR D. ACZEL • 21 ¿e posiad³ cudowny dowód, lecz oto nagle ów dowód sta³ siê nie bardziej rzeczywisty ni¿ nie mieszcz¹cy siê na zbyt w¹skim marginesie, "prawdziwie cudowny dowód" samego Fermata. Miêdzy Tygrysem i Eufratem,

oko³o 2000 roku p. n. e. Historia wielkiego twierdzenia Fermata jest o wiele starsza ni¿ jego autor. Jest nawet starsza ni¿ Diofantos, którego prace Fermat próbowa³ uogólniaæ. Pocz¹tki tego nieskomplikowanie wygl¹daj¹cego, a mimo to g³êbokiego twierdzenia s¹ równie stare jak ludzka cywilizacja. Ich korzenie siêgaj¹ kultury epoki br¹zu, która rozwinê³a siê na ¿yznych terenach miêdzy Tygry- sem i Eufratem, w staro¿ytnym Babilonie (dziœ Jest to teren Iraku). I chocia¿ wielkie twierdzenie Fermata jest abstrakcyjne l nie ma ¿adnych zastosowañ w nauce, technice czy matema- tyce - nawet w teorii liczb, swej kolebce - rodowód tego twier- dzenia wi¹¿e siê z codziennym ¿yciem ludu, który zamieszki- wa³ Mezopotamiê oko³o 2000 roku p.n.e. Okres pomiêdzy 2000 a 600 rokiem p.n.e. w dolinie Mezo- potamii mo¿na nazwaæ er¹ pañstwa babiloñskiego. By³ to czas zadziwiaj¹cego rozwoju kulturowego, o czym œwiadczy m.in. stosowanie pisma, u¿ycie ko³a i pocz¹tki metalurgii. Do nawadniania wielkich po³aci ziemi miêdzy dwiema rzekami wykorzystywano system kana³ów. W miarê rozkwitu cywiliza- cji w ¿yznej dolinie Babilonu, zamieszkuj¹cy tamte niziny staro¿ytny lud nauczy³ siê prowadziæ handel i budowaæ mia- sta, takie jak Babilon czy Ur (w którym urodzi³ siê biblijny Abraham). Prymitywne formy pisma rozwinê³y siê zarówno w Mezopotamii, jak i w dolinie Nilu znacznie wczeœniej, bo ju¿ w koñcu czwartego tysi¹clecia przed nasz¹ er¹. W obfituj¹cej w glinê Mezopotamii znaki w kszta³cie klinów wyciskano trzcinowym rylcem na glinianych tabliczkach, które póŸniej wypalano w piecu lub zostawiano, by stwardnia³y na s³oñcu. Od kszta³tu znaków na tabliczkach pochodzi nazwa "pismo klinowe". Pismo klinowe jest najstarsze wœród wszystkich 22 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA znanych odmian pisma, jakich kiedykolwiek u¿ywano na œwiecie. Rozwój handlu i budownictwa w Babilonie oraz staro¿ytnym Egipcie przyniós³ zapotrzebowanie na dok³adne pomiary. Uczeni obu tych spo³eczeñstw epoki br¹zu wiedzieli, jak oszacowaæ sto- sunek obwodu kota do jego œrednicy. Pos³ugiwali siê w tym celu liczb¹ blisk¹ tej, któr¹ dziœ nazywamy n. Budowniczowie potê¿- nego zigguratu, biblijnej wie¿y Babel l wisz¹cych ogrodów Seml- ramidy, jednego z siedmiu cudów staro¿ytnego œwiata, musieli

znaæ sposoby obliczania pola powierzchni i objêtoœci. Bogactwo mierzy siê w jednostkach kwadratowych W Babilonie rozwiniêto doœæ skomplikowany system Uczenia, o podstawie szeœædziesi¹t. Dziêki temu babiloñscy in¿yniero- wie i budowniczowie mogli obliczaæ wielkoœci niezbêdne w ich codziennej pracy. Choæ nie widaæ tego na pierwszy rzut oka, kwadraty liczb pojawiaj¹ siê w ¿yciu w naturalny sposób. Mo¿- na powiedzieæ, ¿e kwadraty liczb przedstawiaj¹ bogactwo. Dla- czego? Otó¿ los rolnika zale¿y od iloœci zebranych plonów. Plo- ny zale¿¹ z kolei od powierzchni, na której rolnik mo¿e siaæ. Pole powierzchni to iloczyn d³ugoœci i szerokoœci obsiewanego zagonu - tu w³aœnie pojawiaj¹ siê kwadraty. Zagon o szeroko- œci i d³ugoœci równej a ma pole powierzchni równe "a-kwadrat" (a2). Zatem, przynajmniej w tym sensie, bogactwo mierzy siê w jednostkach kwadratowych. Babiloñczycy chcieli wiedzieæ, kiedy mo¿na otrzymaæ kwa-i drat liczby ca³kowitej, dodaj¹c kwadraty innych liczb ca³kowi- tych. Rolnik, który mia³ jedno pole o powierzchni dwudziestu piêciu jednostek kwadratowych, móg³ wymieniæ Je na dwa pola w kszta³cie kwadratu: jedno licz¹ce szesnaœcie jednostek kwa- dratowych i drugie, maj¹ce dziewiêæ jednostek kwadratowych. Zatem pole piêæ na piêæ jednostek by³o warte tyle, co dwa pola: Jedno cztery na cztery i jedno trzy na trzy. Ta wa¿na Informacja pomaga³a w rozwi¹zywaniu praktycznych zagadnieñ. Dzisiaj za- AMIR D. ACZEL • 23 pisalibyœmy ten zwi¹zek w postaci równania: 52 = 42 + 32. Trójki takich liczb naturalnych, jak 3, 4 i 5, których kwadraty spe³niaj¹ ów zwi¹zek, nazywamy trójkami pitagorejskimi na czeœæ legendarnego greckiego matematyka. Pitagorasa, choæ wiadomo, ¿e Babiloñczycy znali takie trójki Ju¿ ponad tysi¹c lat przed urodzeniem s³awnego uczonego. Przekonuje nas o tym niezwyk³a gliniana tabliczka, pochodz¹ca mniej wiêcej z 1900 roku p.n.e. Plimpton 322 Babiloñczycy mieli na punkcie tabliczek swego rodzaju obse- sjê, a dziêki prostej technologii pisma klinowego i obfitoœci gli- ny mogli ich stworzyæ wiele. Glina jest surowcem doœæ trwa³ym l dlatego wiele tabliczek zachowa³o siê a¿ do naszych czasów. Podczas wykopalisk prowadzonych tylko w jednym miejscu,

w staro¿ytnym Nippur, odnaleziono ich ponad piêædziesi¹t tysiêcy. Dziœ znajduj¹ siê one w zbiorach muzeów w Yale, Columbia i na uniwersytecie w Pensylwanii. Wielu z tych tabli- czek nikt jeszcze nie przeczyta³ i nie rozszyfrowa³. W muzeal- nych piwnicach zaczyna pokrywaæ je kurz. Wœród odczytanych tabliczek na szczególn¹ uwagê zas³u- guje tabliczka, zwana Plimpton 322, znajduj¹ca siê w mu- zeum Uniwersytetu Columbia. Na ca³¹ jej zawartoœæ sk³ada siê piêtnaœcie trójek liczb. Pierwsza liczba ka¿dej trójki Jest pe³nym kwadratem, a zarazem sum¹ dwóch pozosta³ych liczb danej trójki, które te¿ s¹ pe³nymi kwadratami. Zatem tablicz- ka Plimpton 322 zawiera kwadraty liczb, tworz¹cych piêtna- œcie trójek pitagorejsklch.7 S¹ wœród nich m.ln. liczby 25 = 16 + 9, odpowiadaj¹ce najprostszej trójce pitagorej sklej (5, 4, 3), a tak¿e 169 = 144 + 25, czyli 132 = 122 + 52. Na py- 7 Uwagê spo³ecznoœci naukowej na tabliczkê Plimpton 322 i zaawansowan y poziom matematyki babiloñskiej zwróci³ w 1934 roku Otto Neugebauer. Do - k³adniejszy opis tych kwestii w jêzyku polskim mo¿na odnaleŸæ np. w prac ach: Marek Kordos: Wyk³ady z historii matematyki. WSiP, Warszawa 1994; Hist orio matematyki, pod red. A. P. Juszkiewicza. PWN, Warszawa 1975. 24 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Fot. Columbia University. Rare Books and Manuscript Library. tanie, z jakich powodów staro¿ytni Babiloñczycy interesowali siê akurat tymi liczbami, historycy nie udzielaj¹ zgodnych odpowiedzi. Jedna z teorii g³osi, ¿e to zainteresowanie by³o podyktowane czysto praktycznymi wzglêdami; argumentuje siê w niej, ¿e Babiloñczykom do obliczeñ w systemie szeœæ- dziesi¹tkowym wygodniej by³o u¿ywaæ liczb ca³kowitych ni¿ u³amków, a ³adne, pe³ne kwadraty liczb ca³kowitych przyda- wa³y siê do rozwi¹zywania praktycznych zadañ. Inni eksperci s¹dz¹, ¿e zainteresowanie kwadratami liczb ca³kowitych mog- ³o byæ po prostu przejawem zwyk³ej ciekawoœci. Niezale¿nie od motywów, wydaje siê, ¿e tabliczka Plimpton 322 mog³a s³u- ¿yæ - jako swego rodzaju pomoc dydaktyczna - do t³umacze-

nia uczniom rozwi¹zañ zadañ, w których wystêpowa³y kwa- draty liczb ca³kowitych. Babiloñczycy bowiem nie rozwijali ogólnych teorii rozwi¹zywania takich zadañ, lecz tworzyli ta- bliczki z listami trójek odpowiednich liczb, a zadaniem uczniów by³o opanowanie sposobu ich odczytywania i wyko- rzystywania. AMIR D, ACZEL • 25 Staro¿ytne sprzysiê¿enie czcicieli liczb Pitagoras urodzi³ siê oko³o 580 roku p. n. e. na greckiej wyspie Samos.8 ZjeŸdzi³ staro¿ytny œwiat wzd³u¿ i wszerz; odwiedza³ Babilon, Egipt, mo¿e nawet Indie. Podczas swych podró¿y do Babilonu Pitagoras nawi¹za³ kontakty z tamtejszymi mate- matykami i dowiedzia³ siê o badaniach liczb, które póŸniej nazwano na jego czeœæ trójkami pitagorejskimi, a które znane by³y wówczas babiloñskim uczonym od ponad 1500 lat. Pitagoras spotka³ te¿ twórców wspania³ych dzie³ sztuki, a matematyczne aspekty cudów architektury niew¹tpliwie nie usz³y jego uwadze. Zetkn¹³ siê równie¿ z filozofi¹ i religia- mi Wschodu. Po powrocie do Grecji opuœci³ wyspê Samos i przeniós³ siê do le¿¹cej na podeszwie "w³oskiego buta" Krotony. Zwróæmy uwagê na ciekawostkê: Pitagoras zapewne widzia³ wiêkszoœæ z siedmiu cudów œwiata. Jeden z nich, œwi¹tynia Hery, znajdo- wa³ siê na jego rodzinnej wyspie Samos. Ruiny wspania³ej œwi¹tyni - do dziœ zachowa³a siê tylko jedna samotna kolum- na, która ocala³a spoœród setek Innych - s¹siaduj¹ obecnie z nowoczesnym miastem Pythagorion, nazwanym tak na czeœæ znamienitego obywatela wyspy. Po drugiej stronie cieœniny, kilka mil na pó³noc wzd³u¿ brzegu, na terenie dzisiejszej Turcji sta³a ongiœ œwi¹tynia Artemidy w Efezie. Kolos Rodyjski znaj- dowa³ siê o parê kroków na po³udnie od Samos; w Egipcie Pi- tagoras widzia³ tamtejsze piramidy i Sfinksa, a w Babilonie uj- rza³ niew¹tpliwie wisz¹ce ogrody Semiramidy. Po³udniowa czêœæ Pó³wyspu Apeniñskiego, w tym Krotona, w której osiedli³ siê Pitagoras, by³a w owym czasie czêœci¹ tzw. Magna Graecia, czyli Wielkiej Grecji, obejmuj¹cej swym zasiê- giem liczne kolonie rozrzucone na wybrze¿ach wschodniej czê- œci basenu Morza Œródziemnego. Jedn¹ z takich kolonii stano- 8 Istniej¹ wprawdzie staro¿ytne biografie Pitagorasa, na przyk³ad pióra Diog e-

nesa Laertiosa, lecz nie ma pe³nej zgody co do tego, czy Pitagoras naprawdê jest postaci¹ historyczn¹; Arystoteles uwa¿a³ Pitagorasa jedynie za personifi ka- cjê idei pitagorejskiej (przyp. t³um.). 26 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA wi³a póŸniej Aleksandria - potomkowie ludnoœci etnicznie greckiej przetrwali w niej do pocz¹tków wieku dwudziestego. Niedaleko Krotony po³o¿one by³y Jaskinie licznych wyroczni, w tym stawnej wyroczni delficklej, przepowiadaj¹cej (czy traf- nie, to inna sprawa) losy ludzi i narodów. Wszystko jest liczb¹ Na ja³owych, kamienistych, sk¹panych w bezlitosnym s³oñcu terenach Pó³wyspu Apeniñskiego Pitagoras za³o¿y³ tajemny zwi¹zek, którego celem sta³o siê studiowanie w³asnoœci liczb. Zgodnie z popularnym pogl¹dem cz³onkowie tego zwi¹zku, tak zwani pitagorejczycy, stworzyli - pracuj¹c w g³êbokiej ta- jemnicy - solidny kawa³ matematycznej wiedzy. Uwa¿a siê, ¿e AMIR D. ACZEL • 27 pitagorejczycy wyznawali doktrynê intelektualn¹, któr¹ dobrze streszcza ich motto: "wszystko jest liczb¹". Ró¿ne liczby, obda- rzone wedle pitagorejczyków cechami magicznymi, by³y dla nich przedmiotem swoistego kultu. W krêgu zainteresowañ pitagorejczyków znalaz³y siê m.in. liczby "doskona³e", pojawia- j¹ce siê tak¿e w badaniach uczonych œredniowiecza i w mistycz- nej ¿ydowskiej Kabale. Liczba doskona³a to liczba naturalna, która jest sum¹ wszystkich (nie licz¹c jej samej) swych dzielni- ków. Najprostszy przyk³ad stanowi szóstka, która jest iloczy- nem trójki, dwójki i jedynki; w dodatku s¹ to jej wszystkie (nie licz¹c jej samej) dzielniki. Mamy wiêc 6 = 3 x 2 x l. Zauwa¿my jednak, ¿e jeœli - zamiast mno¿yæ - dodamy te liczby, to wynik siê nie zmieni: 6=3+2+ l. To zaœ oznacza, ¿e szóstka jest licz- b¹ doskona³¹. Inn¹ liczb¹ doskona³¹ jest 28, której dzielnikami s¹ l, 2, 4, 7 i 14; ³atwo sprawdziæ, ¿e 28 = l + 2 + 4 + 7 + 14. Pitagorejczycy wiedli ascetyczny tryb ¿ycia, pe³en rozlicz- nych obwarowañ i zasad. Nie Jedli na przyk³ad bobu, gdy¿, ich

zdaniem, swym kszta³tem przypomina³ j¹dra. Ich zaabsorbo- wanie liczbami mia³o charakter religijny; na religijnych pod- stawach tak¿e opiera³ siê rygorystycznie przez nich przestrze- gany œcis³y wegetarianizm. Nie znamy wprawdzie ¿adnych dokumentów pisanych z czasów Pitagorasa, lecz wiele nieco póŸniejszych Ÿróde³ staro¿ytnych przedstawia dzie³o mistrza l jego uczniów, a sam Pitagoras uznawany jest za jednego z najwiêkszych matematyków staro¿ytnych. Przypisuje mu siê odkrycie twierdzenia, zwanego dziœ twierdzeniem Pitagorasa, mówi¹cego o kwadratach d³ugoœci boków trójk¹ta prostok¹t- nego. Ma ono œcis³y zwi¹zek z trójkami pitagorejskimi, a po- œrednio wi¹¿e siê te¿ z m³odszym o dwa tysi¹clecia wielkim twierdzeniem Fermata. Kwadrat przeciwprostok¹tnej Jest równy sumie kwadratów pozosta³ych boków... Samo twierdzenie znane by³o zapewne ju¿ w Babilonie, Babl- loñczycy bowiem wiedzieli o istnieniu trójek pitagorejsklch. 28 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Y2 Sformu³owanie ogólnego zagadnienia geometrycznego, które ma sens nie tylko wtedy, gdy d³ugoœci boków s¹ Liczbami natu- ralnymi, przypisuje siê jednak pitagorej czy koma. Twierdzenie Pitagorasa (proszê spojrzeæ na rysunek powy¿ej) g³osi, ¿e kwa- drat d³ugoœci przeciwprostok¹tnej jest równy sumie kwadra- tów d³ugoœci przyprostok¹tnych. Gdy d³ugoœæ przeciwprostok¹tnej Jest liczb¹ maturaln¹ (na przyk³ad równ¹ 5), to mo¿e siê zdarzyæ tak, ¿e wœród dopusz- czalnych przez twierdzenie Pitagorasa d³ugoœci przyprostok¹t- nych znajdziemy parê liczb naturalnych (dla pi-¹tki rzeczywi- œcie tak Jest - wystarczy wzi¹æ trójkê i czwórkê). Innymi s³owy, jeœli d³ugoœci boków trójk¹ta prostok¹tnego s¹ l iczbami natu- ralnymi, to tworz¹ trójkê pitagorejsk¹ (i byæ mo¿=e znajduj¹ siê na tabliczce Plimpton 322, chocia¿ nie jest to takie pewne, albowiem ró¿nych trójek pitagorejskich Jest niesl-esñczenie wie- le, a wiêc du¿o wiêcej ni¿ na s³awnej tabliczce, która zawiera ich zaledwie 15).

AMIR D. ACZEL • 29 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nawiasem mówi¹c, pitagorejczycy wiedzieli tak¿e, ¿e kwa- draty liczb naturalnych s¹ sumami kolejnych liczb nieparzy- stych: 22 = 4 = l + 3; 32 =9=1+3+5; 42 = 16 =1+3+5+7 itd. Ilustrowali tê prawid³owoœæ, rysuj¹c kó³ka uk³adaj¹ce siê w kwadratowy wzór. Gdy do³o¿ymy nieparzyst¹ liczbê kó³ek, umieszczaj¹c je wzd³u¿ dwóch s¹siednich boków kwadratu, powstanie nowy kwadrat. Liczby naturalne, wymierne i co jeszcze? Liczby ca³kowite, a tak¿e liczby wymierne (to znaczy liczby ta- kie, jak 1/2, 1/3, 5/8, 147/1769 itp.) znane by³y w staro¿yt- noœci zarówno w Egipcie, jak i Babilonie. Pitagorejczycy odkry- li, ¿e istniej¹ jeszcze liczby niewymierne - nie mo¿na ich

zapisaæ w postaci u³amka o liczniku i mianowniku natural- nym, zaœ ich rozwiniêcia dziesiêtne sk³adaj¹ siê z nieskoñcze- nie wielu chaotycznie, nieokresowo rozmieszczonych cyfr. Licz- b¹ niewymiern¹ j est na przyk³ad liczba K = 3,141592653..., która wyra¿a stosunek obwodu ko³a do jego œrednicy. W u³o- ¿eniu nieskoñczenie wielu cyfr, tworz¹cych rozwiniêcie dzie- siêtne liczby TI, nie widaæ ¿adnej regularnoœci; wypisanie tych wszystkich cyfr zajê³oby ca³¹ wiecznoœæ. Oszczêdzamy cenny 30 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA czas, u¿ywaj¹c jako symbolu greckiej litery n. Mo¿emy te¿ po- s³u¿yæ siê przybli¿eniem, wypisuj¹c skoñczon¹ liczbê cyfr po przecinku. W tej chwili, dziêki zastosowaniu komputerów, znamy ich miliony, a nawet miliardy, choæ do wiêkszoœci praktycznych celów wystarczy kilka pocz¹tkowych. Ró¿ne przybli¿enia liczby TC znane by³y ju¿ Egipcjanom i Ba- bilonczykom w drugim tysi¹cleciu przed nasz¹ er¹. Zaintereso- wanie t¹ liczb¹ wi¹¿e siê w naturalny sposób z wynalezieniem kota. Przyjmowano, ¿e n to nieco wiêcej ni¿ 3. Co ciekawe, licz- ba 7t oddaje te¿ niektóre proporcje piramidy Cheopsa. Niejaw- n¹ wzmiankê o n odnajdzie te¿ uwa¿ny czytelnik Pierwszej Ksiêgi Królewskiej Starego Testamentu (l Kri 7, 23), œledz¹c zawarty tam opis budowy kolistego zbiornika na wodê. Z poda- nych wartoœci obwodu i œrednicy mo¿emy wnioskowaæ, ¿e przyjêta przez Izraelitów wartoœæ n równa³a siê, z grubsza bio- r¹c, trzy. Pitagorejczycy odkryli, ¿e pierwiastek z dwóch jest licz- b¹ niewymiern¹. Stosuj¹c twierdzenie Pitagorasa do trój- k¹ta prostok¹tnego o dwóch bokach jednostkowej d³ugo- œci, stwierdzili, ¿e d³ugoœæ przeciwprostok¹tnej takiego trójk¹ta wyra¿a siê dziwn¹ liczb¹: jej kwadrat jest równy dwójce. Potrafili precyzyjnie wykazaæ, ¿e nie jest to ani licz- ba ca³kowita, ani te¿ u³amek (mówi¹c œciœlej: iloraz dwóch liczb naturalnych). Cyfry rozwiniêcia dziesiêtnego pierwiast- ka z dwóch nie powtarzaj¹ siê w ¿aden regularny spo- sób. Podobnie jak w przypadku TI, wypisanie wszystkich cyfr rozwiniêcia trwa³oby ca³¹ wiecznoœæ, tworz¹ bo- wiem one nieskoñczony, jedyny w swoim rodzaju ci¹g, w ni- czym nie przypominaj¹cy ci¹gu takiego jak na przyk³ad: 1,8571428571428571..., który przecie¿ ³atwo mo¿emy do- k³adnie opisaæ, nie wymieniaj¹c wcale jego wszystkich cyfr.

Ka¿da liczba, która ma okresowe rozwiniêcie dziesiêtne (w naszym przyk³adzie okres stanowi powtarzaj¹ca siê zbit- ka szeœciu cyfr 857142), jest liczb¹ wymiern¹, czyli ilorazem dwóch liczb naturalnych a l b, a to znaczy, ¿e mo¿emy j¹ zapisaæ w postaci u³amka a/bo naturalnym liczniku l mianowniku. Na przyk³ad iloraz 13/7 jest równy liczbie AMIR D. ACZEL • 31 1,8571428571428571... - szeœciocyfrowy ci¹g 857142 po- wtarza siê po przecinku w nieskoñczonoœæ. Odkrycie niewymiemoœci pierwiastka z dwóch by³o dla pita- gorejczyków - zagorza³ych wielbicieli liczb - nieprzyjemn¹ nie- spodziank¹. Zaprzysiêgli, ¿e nie podziel¹ siê t¹ wiadomoœci¹ z nikim, kto nie by³by cz³onkiem ich zwi¹zku. Tajemnicy nie uda³o siê Jednak zachowaæ. Jedna z legend g³osi, ¿e zdrajcê, który ujawni³ œwiatu sekret istnienia dziwnych liczb niewy- miernych, Pitagoras skaza³ na œmieræ przez utopienie i sam wykona³ wyrok. Na osi liczbowej znajduj¹ siê liczby dwóch rodzajów: wy- mierne i niewymierne. Razem wype³niaj¹ one oœ liczbow¹ szczelnie, nie pozostawiaj¹c najmniejszej dziurki. Liczby roz- mieszczone s¹ w bardzo, bardzo ma³ych (nieskoñczenie ma- ³ych) odstêpach. Mówi siê, ¿e u³o¿enie liczb niewymiernych wœród liczb rzeczywistych jest gêste. Oznacza to, ¿e ka¿dy, choæby i najmniejszy, odcineczek osi liczbowej zawiera liczby niewymierne. Co wiêcej, w ka¿dym dowolnie ma³ym otoczeniu ka¿dej liczby wymiernej jest nieskoñczenie wiele liczb niewy- miernych, a w ka¿dym dowolnie ma³ym otoczeniu liczby nie- wymiernej jest nieskoñczenie wiele liczb wymiernych. Mówi¹c nieco inaczej, oba podzbiory osi liczbowej - a wiêc liczby wymierne i liczby niewymierne - s¹ nieskoñczone i bardzo do- k³adnie nawzajem przemieszane. Okazuje siê jednak, ¿e nie- skoñczonoœci mog¹ byæ ró¿ne, a liczb niewymiernych jest w pewnym sensie nieporównywalnie wiêcej ni¿ wymiernych. W latach siedemdziesi¹tych XIX wieku udowodni³ ten fakt niemiecki matematyk Georg Cantor (1845-1918), który stwo- rzy³ naukê o w³asnoœciach zbiorów, tzw. teoriê mnogoœci. Z pocz¹tku niewiele osób by³o sk³onnych daæ wiarê jego od- kryciom. Autora teorii, pozwalaj¹cej okreœliæ, ile jest liczb wy- miernych, a ile niewymiernych, wyszydza³ i oœmiesza³ jego ar- cywróg, Leopold Kronecker (1823-1891), znany ze swego

stwierdzenia: "Liczby naturalne stworzy³ dobry Bóg, reszta zaœ Jest dzie³em cz³owieka". Mia³o to znaczyæ, ¿e liczby niewymier- ne, takie Jak choæby pierwiastek z dwóch, nie istniej¹ napraw- dê, lecz s¹ jedynie idealnymi tworami naszej wyobraŸni. Przy- 32 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Miêdzy dwiema dowolnymi liczbami wyinierryinl le¿y Jakaœ liczba niewymierna. i t U o i ? 1 n 2 Liczby wymierne to u³amki o ca³kowitym liczniku l mianowniku. pomnijmy: rzecz dzia³a siê ponad dwa tysi¹ce lat po odkry- ciach pitagorejczyków! Oskar¿a siê czasem Kr-oneckera o to, ¿e z powodu jego wrogoœci Cantor nie obj¹³ presti¿owej profe- sury na Uniwersytecie Berliñskim i ostatecznie, po licznych za³amaniach nerwowych, skoñczy³ w przytu³ku dla ob³¹ka- nych. Dziœ wszyscy matematycy przyznaj¹ racjê Cantorowi l zgodnie twierdz¹, ¿e chocia¿ oba zbiory, liczb wymiernych l liczb niewymiernych, s¹ nieskoñczone, to dr-ugi z nich jest nieskoñczenie wiele razy wiêkszy. Lecz czy staro¿ytni Grecy to wszystko wiedzieli?9 Pitagorejskie dziedzictwo Wa¿nym aspektem pitagorej sklej doktryny, ob ok uwielbienia liczb, nakazów przestrzegania odpowiedniej ddiety oraz owia- nych nimbem tajemnicy spotkañ i rytua³ów, by³o tak¿e uzna- nie studiów filozoficznych i matematycznych za moralny obo- wi¹zek i cel ¿ycia. Niektórzy twierdz¹, ¿e s³owa "filozofia" (czyli umi³owanie m¹droœci) i "matematyka" (pochodŸ ¹ce od greckle- 9 Cantor w istocie poszed³ du¿o dalej i postawi³ hipotezê, ¿e- nie istnieje ¿a den zbiór, który mia³by istotnie wiêcej elementów ni¿ zbiór liczb* wymiernych i jed- noczeœnie istotnie mniej ni¿ zbiór liczb niewymiernych. To zdanie nosi naz wê hi- potezy continuum. W 1963 roku Pau³ Cohen udowodni³ niezale¿noœæ hipot ezy continuum. Oznacza to, ¿e mo¿na bez obaw do³¹czyæ j¹ do i nnych aksjoma tów teorii mnogoœci albo - równie dobrze - mo¿na przyj¹æ za p ewnik, ¿e hipot eza continuum jest fa³szywa. Istnienie takich alternatywnych matematycznych

œwiatów pozostaje jednym z najdziwniejszych faktów podsta-w matematyki . AMIR D, ACZEL • 33 go mathem, co znaczy "uczyæ siê" lut) "wiedzieæ") utworzy³ sam Pitagoras, który zg³êbianie wiedzy matematycznej traktowa³ ja- ko swego rodzaju d¹¿enie do wolnoœci i poznania harmonii œwiata. Pitagoras zmar³ oko³o 500 r. p.n.e., nie pozostawiaj¹c po so- bie ¿adnych dzie³ utrwalonych na piœmie. Szko³a w Krotonie uleg³a zniszczeniu, gdy grupa, rywalizuj¹ca z pitagorej czykaml o polityczne wp³ywy, podczas niespodziewanego napadu wy- mordowa³a wiêkszoœæ cz³onków tej szko³y filozoficznej. Nielicz- ni, którzy zdo³ali ocaleæ, rozproszyli siê po ówczesnym greckim œwiecie wokó³ basenu Morza Œródziemnego, zabieraj¹c ze sob¹ sw¹ filozofiê i mistyczn¹ mi³oœæ do liczb. Wœród nowych uczniów garstki uchodŸców znalaz³ siê m.in. Filolaos z Taren- tu, studiuj¹cy matematykê i filozofiê w szkole za³o¿onej w owym mieœcie przez pitagorejczyków. Filolaos to pierwszy z greckich filozofów, który spisa³ historiê i osi¹gniêcia zwi¹zku pitagorejczyków. W³aœnie z jego ksi¹¿ki Platon poznawa³, a póŸniej sam opisa³ pitagorejsk¹ kosmologiê, filozofiê liczby i mistycyzm. Znakiem i symbolem zwi¹zku pitagorejskiego by³ penta- gram, czyli piêcioramienna gwiazda wpisana w piêciok¹t fo- remny. Ramiona gwiazdy to przek¹tne piêciok¹ta, które, prze- cinaj¹c siê, tworz¹ nastêpny, mniejszy piêciok¹t foremny (odwrócony do góry nogami). Gdy narysujemy przek¹tne mniejszego piêciok¹ta, utworz¹ one jeszcze jeden piêciok¹t i tak dalej, w nieskoñczonoœæ. Piêciok¹t foremny i gwiazda z je- go przek¹tnych maj¹ ciekawe w³asnoœci, które pitagorejczycy uznawali za magiczne. Punkt przeciêcia dwóch przek¹tnych dzieli ka¿d¹ z nich na dwie nierówne czêœci. Stosunek d³ugoœci ca³ej przek¹tnej do d³ugoœci wiêkszego odcinka jest równy sto- sunkowi d³ugoœci wiêkszego odcinka do d³ugoœci mniejszego odcinka. Ten sam stosunek d³ugoœci odcinków powtarza siê w kolejnych, coraz mniejszych piêciok¹tach. Nazywa siê go za- zwyczaj wspó³czynnikiem z³otej proporcji (albo z³otego podzia- ³u). Jest to liczba niewymierna 1,61803398... Gdy podzielimy jedynkê przez tê liczbê, to zostanie tylko czêœæ u³amkowa, czyli 0,61803398... Taki sam wynik otrzymalibyœmy, odejmuj¹c od

34 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA wspó³czynnika z³otej proporcji jedynkê. Jak siê przekonamy nieco póŸniej, z³ota proporcja wystêpuje w ró¿nych zjawiskach przyrodniczych, a oko ludzkie jest sk³onne postrzegaæ j¹ jako szczególnie piêkn¹. Wspó³czynnik z³otej proporcji jest granicz- n¹ wartoœci¹ stosunków kolejnych liczb Fibonacciego - s³aw- nych liczb, które spotkamy ju¿ wkrótce. Czytelnik mo¿e sprawdziæ, ¿e wspó³czynnik z³otej proporcji pojawia siê w Interesuj¹cy sposób w wyniku wykonania serii prostych dzia³añ na kalkulatorze. Trzeba mianowicie zacz¹æ od Jedynki, potem nacisn¹æ trzy klawisze: +, l, =, póŸniej klawisz l/x, nastêpnie znów trzy klawisze +, l, =, znowu l/xitd. Jeœli tylko wystarczy nam cierpliwoœci, po kilkunastu krokach kal- kulator zacznie wskazywaæ na przemian 1,618... l 0,618... Wiêksza z tych liczb to w³aœnie wspó³czynnik z³otej proporcji, równy w rzeczywistoœci po³owie sumy jedynki i pierwiastka kwadratowego z piêciu. Mo¿na siê o tym przekonaæ, uk³adaj¹c i rozwi¹zuj¹c równanie opisuj¹ce z³ot¹ proporcjê. Z niewymier- noœci pierwiastka kwadratowego z piêciu wynika niewymier- noœæ wspó³czynnika z³otej proporcji (w doœwiadczeniu z kalku- latorem obserwujemy w istocie tylko Jego coraz dok³adniejsze wymierne przybli¿enia). Temu zjawisku przypatrzymy siê jesz- cze bli¿ej nieco póŸniej. Pitagorejczycy odkryli tak¿e, ¿e jeœli stosunek d³ugoœci dwóch napiêtych strun wyra¿a siê niewielkimi liczbami natu- ralnymi, to struny te wydaj¹ dŸwiêki przyjemnie wspó³brzmi¹- AMIR D. ACZEL • 35 ce. Wed³ug Arystotelesa pitagorejczycy wierzyli, ¿e Wszech- œwiat to przede wszystkim muzyka i liczby. Ich wiara w zasadê, zgodnie z któr¹ wszystko jest liczb¹, mia³a swoje Ÿród³a w kon- templacji harmonii, widocznej m.in. w muzyce czy geometrii. Pitagorejczycy s¹dzili ponadto, ¿e wszystkie podstawowe sto- sunki w muzyce mo¿na opisaæ liczbami: l, 2, 3 i 4, które s¹ przez to wa¿niejsze od innych. Suma tych liczb to 10; dlatego w³aœnie liczymy w systemie dziesiêtnym. Pitagorejczycy przed- stawiali liczbê 10, rysuj¹c trójk¹t o nazwie tetraktys:10