Elektrodynamika kwantowa (2011) - Lifszyc Jewgienij M., Pitajewski Lew P., Bierestecki Wł.pdf

F I Z Y K A T E O R E T Y C Z N A ELEKTRODYNAMIKA KWANTOWA Z języka rosyjskiego ttumaczyi Piotr Chankowski W ydanie drugie, zmienione W Y D A W N IC T W O N A U K O W E P W N W A R S Z A W A 2011

Spis treści Spis tr e ś c i......................................................................................................................................................... V Przedm ow a do w ydania trz e c ie g o ....................................................................................................... x i Przedm ow a do w ydania d ru g ie g o ...................................................................................................... XIl Z przedm ow y do w ydania p ierw szeg o .............................................................................................. x m N iektóre o z n a c z e n ia ............................................................................................................................... XIV W p ro w a d z e n ie................................................................................................................................................ l § 1. Związkinieoznaczoności w reżimierelatywistycznym..................................................... 1 I. F o to n ........................................................................................................................................................ 5 § 2. Kwantowanie swobodnego pola elektromagnetycznego................................................. 5 § 3. Fotony....................................................................................................................................... 10 § 4. Niezmienniczość względem cechowania......................................................................... 12 § 5. Pole elektromagnetyczne w teorii kwantowej.................................................................. 14 § 6. Moment pędu i parzystość fotonu.................................................................................... 15 § 7. Fale kuliste fotonów ............................................................................................................. 18 § 8. Polaryzacja fotonu................................................................................................................ 23 § 9. Układ dwóch fotonów........................................................................................................... 28 II. B ozony.................................................................................................................................................... 32 § 10. Równanie falowe cząstek o spinie 0 ................................................................................. 32 § 11. Cząstki i antycząstki............................................................................................................ 36 § 12. Cząstki istotnie obojętne..................................................................................................... 40 § 13. Transformacje C, P, T ........................................................................................................... 42 § 14. Równanie falowe cząstki o spinie 1................................................................................... 48 § 15. Równania falowe cząstek o wyższych całkowitych spinach........................................ 52 § 16. Stany cząsteko określonejskrętności................................................................................... 53 III. F erm iony............................................................................................................................................... 60 § 17. Spinory ezterowymiarowe................................................................................................... 60 § 18. Związek spinorów z czterowektorami.............................................................................. 63

i— VI Spis treści § 19. Działanie odbicia przestrzennego na spinory................................................................... 66 § 20. Równanie Diraca w reprezentacji spinorowej................................................................. 71 § 21. Symetryczna postać równania D iraca................................................................................ 73 § 22. Algebra macierzy D iraca...................................................................................................... 78 § 23. Fale płaskie............................................................................................................................... 80 § 24. Fale kuliste............................................................................................................................... 84 § 25. Związek spinu ze statystyką................................................................................................. 87 § 26. Sprzężenie ładunkowe spinora i odwrócenie czasu........................................................ 90 § 27. Symetria cząstka-antycząstka............................................................................................... 94 § 28. Formy dwuliniowe.................................................................................................................. 97 § 29. Polaryzacyjna macierz gęstości......................................................................................... 101 § 30. Fermiony opisywane spinorami o dwóch składowych................................................ 106 § 31. Równanie falowe cząstek o spinie 3 /2 ............................................................................. 109 IV. C ząstk a w polu zew n ętrzn y m ..................................................................................................... 112 § 32. Równanie Diraca elektronu w polu zewnętrznym........................................................ 112 § 33. Rozwinięcie według potęg 1/ c .......................................................................................... 116 § 34. Struktura subtelna poziomów atomu wodoru................................................................. 119 § 35. Ruch w polu centralnym..................................................................................................... 121 § 36. Ruch w polu kulombowskim............................................................................................. 126 § 37. Rozpraszanie w polu centralnym...................................................................................... 132 § 38. Rozpraszanie w przypadku ultrarelatywistycznym........................................................ 135 § 39. Rozpraszanie w polu kulombowskim: układ funkcji falowych widma ciągłego... 137 § 40. Elektron w polu płaskiej fali elektromagnetycznej...................................................... 140 § 41. Ewolucja spinu w polu zewętrznym................................................................................ 143 § 42. Rozpraszanie neutronów w polu elektrycznym............................................................. 149 V. P rom ieniow anie.................................................................................................................................. 151 § 43. Operator oddziaływania elektromagnetycznego............................................................ 151 § 44. Emisja i absorpcja................................................................................................................ 153 § 45. Promieniowanie dipolowe................................................................................................... 156 § 46. Promieniowanie elektryczne multipolowe....................................................................... 158 § 47. Promieniowanie magnetyczne multipolowe................................................................... 162 § 48. Rozkład kątowy i polaryzacja promieniowania.............................................................. 164 § 49. Promieniowanie atomów. Typ elektryczny..................................................................... 172 § 50. Promieniowanie atomów. Typ magnetyczny................................................................... 177 § 51. Promieniowanie atomów. Zjawiska Zeemana i Starka................................................. 180 § 52. Promieniowanie atomów. Atom w odoru......................................................................... 183 § 53. Promieniowanie cząsteczek dwuatomowych. Widma elektronowe............................ 188 § 54, Promieniowanie cząsteczek dwuatomowych. Widma oscylacyjne i rotacyjne 195 § 55. Promieniowanie jąd er........................................................................................................... 196 § 56. Zjawisko fotoelektryczne. Przypadek nierelatywistyczny........................................... 199 § 57. Zjawisko fotoelektryczne. Przypadek relatywistyczny................................................. 203 § 58. Fotodysocjacja deuteru......................................................................................................... 207

Spis treści VII —| VI. R ozpraszanie ś w ia tła ..................................................................................................................... 211 § 59. Tensor rozpraszania............................................................................................................. 211 § 60. Rozpraszanie przez układy mogące się swobodnie orientować................................ 221 § 61. Rozpraszanie na cząsteczkach.......................................................................................... 227 § 62. Naturalna szerokość linii widmowej............................................................................... 231 8 63. Fluorescencja rezonansowa................................................................................................ 235 VII. M acierz ro z p ra sz a n ia ................................................................................................................... 239 § 64. Amplituda rozpraszania...................................................................................................... 239 § 65. Reakcje z udziałem cząstek spolaryzowanych.............................................................. 244 § 66. Niezmienniki kinematyczne.............................................................................................. 247 § 67. Obszary fizyczne................................................................................................................. 250 § 68. Rozkład na amplitudy parcjalne....................................................................................... 255 § 69. Symetrie skrętnościowych amplitud rozpraszania....................................................... 258 § 70. Amplitudy niezmiennicze.................................................................................................. 264 8 71. Warunek unitarności........................................................................................................... 268 VIII. N niezm ienniczy rachunek zab u rzeń ......................................................................................... 273 § 72. Iloczyn chronologiczny...................................................................................................... 273 § 73. Diagramy Feynmana odpowiadające rozpraszaniuelektronów.................................. 276 8 74. Diagramy Feynmana odpowiadające rozpraszaniufotonów ........................................ 282 § 75. Propagator elektronu........................................................................................................... 285 § 76. Propagator fotonu................................................................................................................. 289 8 77. Ogólne reguły techniki opartej na diagramach............................................................. 293 8 78. Symetria krzyżowania........................................................................................................ 300 § 79. Cząstki wirtualne................................................................................................................. 301 IX. O ddziaływ anie e le k tro n ó w ........................................................................................................ 306 8 80. Rozpraszanie elektronu w polu zewnętrznym.............................................................. 306 8 81. Rozpraszanie elektronów i pozytonów na elektronie................................................. 310 8 82. Jonizacyjne straty energii szybkich cząstek.................................................................. 318 8 83. Równanie B reita................................................................................................................... 325 8 84. Pozytonium............................................................................................................................ 331 8 85. Wzajemne oddziaływanie oddalonych atom ów ............................................................ 334 X. O ddziaływ anie elektronów zfo to n a m i.................................................................................... 340 8 86. Rozpraszanie fotonu na elektronie................................................................................... 340 8 87. Rozpraszanie fotonu na elektronie. Efekty polaryzacyjne.......................................... 345 8 88. Anihilacja pary elektron-pozyton w dwa fotony........................................................... 353 8 89. Anihilacja pozytonium........................................................................................................ 356 8 90. Promieniowanie hamowania w polu magnetycznym (synchrotronowe)................. 361 8 91. Kreacja par przez foton w polu magnetycznym........................................................... 370 § 92. Promieniowanie hamowania elektronu w polu jądra. Przypadek nierelatywistyczny 373

384 394 397 402 409 413 420 426 430 436 436 439 445 448 451 455 457 460 465 471 474 479 479 482 485 490 493 497 500 505 510 515 519 525 527 533 539 547 549 558 565 r~ VIII Spis treści § 93. Promieniowanie hamowania elektronu w polu jądra. Przypadek relatywistyczny . § 94. Kreacja par przez foton w polu jądra............................................................................... § 95. Ścisła teoria kreacji par w przypadku ultrarelatywistycznym.................................... § 96. Ścisła teoria promieniowania hamowania w przypadku ultrarelatywistycznym — § 97. Promieniowanie hamowania przy zderzeniu elektronu z elektronem w przypadku ultrarelatywistycznym .......................................................................................................... § 98. Emisja miękkich fotonów towarzysząca zderzeniom..................................................... § 99. Metoda fotonów równoważnych......................................................................................... § 100. Kreacja par w zderzeniach cząstek................................................................................... § 101. Emisja fotonu przez elektron w polu fali elektromagnetycznej o dużym natężeniu XI. Ścisłe p ro p ag ato ry i funkcje w ierzchołkow e....................................................................... § 102. Operatory pola w obrazie Heisenberga............................................................................ § 103. Ścisły propagator fotonu...................................................................................................... § 104. Polaryzacja próżni................................................................................................................. § 105. Ścisły propagator elektronu................................................................................................ § 106. Funkcja wierzchołkowa........................................................................................................ § 107. Równania D ysona................................................................................................................. § 108. Tożsamość Warda................................................................................................................... § 109. Propagator elektronu w polu zewnętrznym...................................................................... § 110. Fizyczne warunki renormalizacyjne................................................................................. §111. Właściwości analityczne propagatora fotonu.................................................................. § 112. Regularyzacja całek feynmanowskich............................................................................... XII. Popraw ki p ro m ie n iste ................................................................................................................... § 113. Wyznaczenie energii własnej fotonu................................................................................. § 114. Poprawki promieniste do prawa Coulom ba.................................................................... § 115. Obliczenie części urojonej energii własnej fotonu z całki feynmanowskiej........... § 116. Elektromagnetyczne czynniki struktury elektronu........................................................ § 117. Obliczenie czynników struktury elektronu...................................................................... § 118. Anomalny moment magnetyczny elektronu.................................................................... § 119. Obliczenie energii własnej elektronu............................................................................... § 120. Emisja miękkich fotonów o niezerowej m asie.............................................................. § 121. Rozpraszanie elektronu w polu zewnętrznym w drugim rzędzie przybliżenia Borna § 122. Poprawki promieniste do rozpraszania elektronu w polu zewnętrznym.................. § 123. Radiacyjne przesunięcie atomowych poziomów energetycznych.............................. § 124. Radiacyjne przesunięcie poziomów energetycznych mezoatomu.............................. § 125. Relatywistyczne równanie wyznaczające stany zw iązane........................................... § 126. Podwójny związek dyspersyjny.......................................................................................... § 127. Rozpraszanie fotonu na fotonie.......................................................................................... § 128, Koherentne rozpraszanie fotonu w polu jąd ra................................................................ § 129. Poprawki promieniste do równań pola elektromagnetycznego.................................. § 130. Rozpraszanie fotonu w polu magnetycznym.................................................................. § 131. Obliczanie całek po obszarach czterowymiarowych.....................................................

Spis treści IX —i XIII. Wzory asymptotyczne elektrodynamiki kwantowej....................................................... 570 § 132. Asymptotyczne zachowanie propagatora fotonu dla dużych pędów ........................ 570 § 133. Związek między ładunkiem „gołym" i prawdziwym.................................................. 574 § 134. Asymptotyczne zachowanie amplitud rozpraszania przy wysokichenergiach 577 § 135. Wydzielenie dwulogarytmicznych wyrazów funkcji wierzchołkowej..................... 581 § 136. Dwulogarytmiczna asymptotyka funkcji wierzchołkowej.......................................... 587 § 137. Dwulogarytmiczna asymptotyka amplitudy rozpraszania elektronuna m ionie— 589 XIV. Elektrodynamika hadronów....................................................................................................... 596 § 138. Elektromagnetyczne czynniki struktury hadronów ..................................................... 596 § 139. Rozpraszanie elektronów na hadronach.......................................................................... 601 § 140. Promieniowanie hamowania: twierdzenie niskoenergetyczne.................................... 604 § 141. Rozpraszanie fotonu na hadronie: twierdzenie niskoenergetyczne........................... 608 § 142. Momenty multipolowe hadronów..................................................................................... 611 § 143. Nieelastyczne rozpraszanie elektronów na hadronach............................................... 616 § 144. Anihilacja pary elektron-pozyton w hadrony................................................................ 618 Skorowidz........................................................................................................................................................ 621

Przedmowa do wydania trzeciego W niniejszym wydaniu Elektrodynamiki kwantowej poprawiono błędy i nieścisłości dostrzeżone po ukazaniu się wydania drugiego oraz wprowadzono pewne uzupełnienia uściślające tekst. Jestem wdzięczny czytelnikom książki, którzy przekazywali mi swoje uwagi. Dzię­ kuję szczególnie W.I. Koganowi, A.I. Nikiszowowi i W.I. Ritusowi. Wrzesień 1988 r. Lew P. Pitajewski

Przedmowa do wydania drugiego Pierwsze wydanie niniejszego tomu Kursu fizyki teoretycznej było opublikowane w dwóch częściach w latach 1968 i 1971 pod tytułem „Relatywistyczna teoria kwan­ tów”. Oprócz głównego materiału poświęconego elektrodynamice kwantowej, wydanie to zawierało także rozdziały poświęcone oddziaływaniom słabym oraz niektórym proble­ mom teorii oddziaływań silnych. Obecnie włączanie tych rozdziałów do książki wydaje się nam nie na czasie. Teoria oddziaływań silnych i słabych rozwija się burzliwie na podstawie nowych idei fizycznych i sytuacja w tej dziedzinie zmienia się tak szybko, że z pewnością nie nadeszła jeszcze pora na systematyczny wykład tej teorii1'. W związku z tym, w niniejszym wydaniu ograniczyliśmy się do elektrodynamiki kwantowej, co zna­ lazło swoje odzwierciedlenie w zmianie tytułu. Równolegle ze znaczną liczbą ulepszeń i drobnych zmian, w niniejszym wydaniu wprowadzono także szereg znaczniejszych uzupełnień. Wymienimy tu operatorową me­ todę obliczania przekroju czynnego na promieniowanie hamowania, obliczenie praw­ dopodobieństwa kreacji par przez foton oraz prawdopodobieństwa rozszczepienia fotonu w polu magnetycznym, badanie asymptotycznego zachowania amplitud rozpraszania przy wysokich energiach, omówienie procesów nieelastycznego rozpraszania elektronów na hadronach i anihilacji par elektron-pozyton w hadrony. Kilka słów o oznaczeniach. Wróciliśmy w tej książce do oznaczania operatorów - jednolicie z pozostałymi tomami kursu - literami z daszkiem. Dla iloczynu czterowek- tora z wektorem macierzowym y^ (który to iloczyn w pierwszym wydaniu książki był oznaczany literą z daszkiem) nie wprowadzamy specjalnego oznaczenia: takie iloczyny wypisywane są jawnie21. Niestety przyszło nam przygotowywać to wydanie już bez udziału W ładimira Bory- sowicza Bieresteckiego, który zmarł w roku 1977. Część jednak z wymienionych wyżej uzupełnień została ustalona jeszcze wspólnie przez wszystkich trzech autorów. Jesteśmy szczerze wdzięczni wszystkim naszym czytelnikom, którzy przekazywali nam swoje uwagi o pierwszym wydaniu książki. W szczególności dziękujemy B.R Kraj- nowowi, L.B. Okuniowi, W.I. Ritusowi, M.I. Riazanowowi i l.S. Szapiro. Maj 1979 r. Jewgienij M. Lifszyc, Lew P. Pitajewski 11 Stówa te pisane byty w roku 1979. Dziś zarówno teoria oddziaływań silnych, jak i elektrosłabych są już dobrze opracowane. (Przyp. tłumacza). 21 Ponieważ taka notacja powoduje, że wzory są mato przejrzyste, w polskim wydaniu dla takich iloczynów stosujemy powszechnie używany zapis Feynmana aflyt‘ = /.

Z przedmowy do wydania pierwszego W zgodzie z ogólnym planem tego Kursu, niniejszy tom poświęcony jest relatywi­ stycznej teorii kwantowej w szerokim znaczeniu tego słowa, tj. teorii wszystkich zjawisk związanych ze skończoną prędkością światła, w tym całej teorii promieniowania. Jak wiadomo, ta część fizyki teoretycznej jest dziś wciąż jeszcze daleka od zamknię­ cia, nawet gdy chodzi o leżące u jej podstaw zasady. Odnosi się to szczególnie do teorii oddziaływań silnych i słabych. Jednak nawet elektrodynamika kwantowa, mimo osiągnię­ tych przez nią w ostatnich 2 0 latach wielkich sukcesów, nie przybrała wciąż jeszcze zadowalającej formy logicznej. Wybierając materiał do tej książki, ograniczyliśmy się do tych wyników, które wy­ dają się - z rozsądnym prawdopodobieństwem - wystarczająco dobrze ugruntowane. Jest więc naturalne, że przy takim podejściu większą część książki wypełnia elektrody­ namika kwantowa. Staraliśmy się prowadzić wykład z realistycznego punktu widzenia, podkreślając czynione fizyczne założenia, nie wdając się jednak w ich uzasadnienia, które wszystkie, przy obecnym stanie teorii, mają tak samo czysto formalny charakter. Przy rozpatrywaniu konkretnych zastosowań teorii celem naszym nie było ogarnięcie całości olbrzymiej liczby opisywanych przez nią efektów i ograniczyliśmy się jedynie do głównych z nich, dając dodatkowo pewne odnośniki do prac oryginalnych zawierających bardziej szczegółowe analizy. Prowadząc obliczenia, które charakteryzują się tu znaczną złożonością, opuszczaliśmy często niektóre wzory pośrednie, ale zawsze staraliśmy się pokazać wszystkie wykonywane nietrywialne metodologicznie kroki. W porównaniu z innymi tomami tego Kursu, materiał zawarty w tej książce zakłada wyższy stopień przygotowania czytelnika. Wychodziliśmy z założenia, iż czytelnik, który studiując fizykę teoretyczną, doszedł aż do kwantowej teorii pola, nie potrzebuje już nadmiernego „rozdrabniania” materiału. Książka ta została napisana bez bezpośredniego udziału naszego Nauczyciela L.D. Landaua. Staraliśmy się jednak kierować tym samym spojrzeniem na fizykę teore­ tyczną, którego On nas uczył i które sam zawarł w innych tomach tego Kursu. Często zapytywaliśmy siebie, jak do tego czy innego zagadnienia podszedłby Dau, i staraliśmy się odpowiedzieć sobie tak, jak podpowiadało nam nasze wieloletnie z Nim obcowanie. Jesteśmy wdzięczni W.N. Bajerowi, który okazał nam wielką pomoc przy pisaniu §§90 i 97, W.I. Ritusowi za wydatną pomoc przy napisaniu § 101 oraz B.E. Majero- wiczowowi za pomoc przy niektórych obliczeniach. Dziękujemy także A.S. Kompaniej- cowi, który udostępnił nam swoje notatki z wykładów z elektrodynamiki kwantowej wygłoszonych przez L.D. Landaua na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym w roku akademickim 1959/60. Czerwiec 1967 r. Władimir B. Bierestecki, Jewgienij M. Lifszyc, Lew P. Pitajewski

Niektóre oznaczenia OZNACZENIA CZTEROWYMIAROWE W skaźniki tensorów czterowymiarowych oznaczane są greckimi literami A, ¡x, v, ... przyjmującymi wartości 0 , 1,2,3. Przyjęta została czterowy miarowa metryka o sygnaturze (H ) i tensorze metrycznym 'A¡iv (#oo = 9 ji = 022 = 033 = _ ó- Składowe czterowektora podawane są w formie ab = (a°,a). W celu uproszczenia zapisu wzorów wskaźnik numerujący składowe wektora będzie czę­ sto opuszczany1'. Iloczyny skalarne czterowektorów zapisywane są wtedy po prostu jako (ab) lub ab: ab = a „ b = a°b° - a b. Czterowektorem wodzącym jest xp = (t, r), a elementem czterowymiarowej objętości d4„r. Operatorem różniczkowania po współrzędnych jest d = d /d xfl. Antysymetrycznym tensorem jednostkowym jest eAm\ przy czym e0123 = —e0m = +1. Czterowymiarowa delta Diraca ma postać d(4)(a) = ó'(a°)ó'i3,(a). OZNACZENIA TRÓJW YMIAROWE Wskaźniki tensorów trójwymiarowych oznaczane są łacińskimi literami i, k, j, ... przyj­ mującymi wartości x, y, z. Trójwymiarowe wektory oznaczane są literami półgrubymi. Elementem trójwymiarowej objętości jest d3jc. OPERATORY Operatory oznaczane są2> literami z daszkiem A. Komutatory lub antykomutatory dwu operatorów: { f,g } ± = f g ± g f . " Zapis taki jest szeroko stosowany we współczesnej literaturze. Od czytelnika wymaga to, oczywi­ ście, szczególnej uwagi. 2) Dla uproszczenia zapisu wzorów macierze spinowe nie są opatrzone daszkami. Daszki pomijane są także nad literami oznaczającymi operatory w elementach macierzowych.

Niektóre oznaczenia XV Operator transportowany: f . Operator sprzężony hermitowsko: / ' . ELEM ENTY MACIERZOWE Element macierzowy operatora F odpowiadający przejściu ze stanu początkowego i do stanu końcowego / jest zapisywany jako TY. lub {f\F\i). Symbol \i) jest stosowany jako abstrakcyjny symbol stanu, niezależnie od konkretnej reprezentacji, w której może być wyrażona funkcja falowa tego stanu. (f\ jest sym­ bolem (sprzężonego) stanu końcowego0. W ielkości (s|r) są współczynnikami rozkładu układu stanów numerowanych kwantowymi liczbami r na superpozycję stanów numerowanych kwantowymi liczbami .v: |r) = Z,- ló ó ló - Wielkości ( / || F || i) są zredukowanymi elementami macierzowymi tensorów sferycz­ nych. RÓWNANIE DIRACA Macierze Diraca oznaczamy y/J, przy czym (y0)2 = 1, (y 1) 2 = (y2)2 = (y3)2 = -1- Macierze a' = y ° y ', (i = y°. Wyrażenia w reprezentacji spinorowej i standardowej są dane wzorami (21.3), (21.16), (21.20) y 5 = - iy ° y 'y 2y 3, (y5) 2 = 1, patrz wzór (22.18). (rllv = (1 / 2 )(y/'y v ~ 7 v7IJ)i patrz wzór (28.2). i/c = ^*y° oznacza sprzężenie dirakowskie. M acierze Pauliego a = (crx, cr!/, crz); patrz definicja na str. 72. W skaźniki a , ¡3, ... oraz a ,/3 ,... spinorów dwuskładnikowych przebiegają odpowiednio wartości 1 i 2 oraz i, 2 . Wskaźniki i, k, I, ... bispinorów przebiegają wartości 1, 2, 3, 4. ROZW INIĘCIE FOURIERA W trzech wymiarach .f(r) = J ^ /(k )e ikr, / ( k) = J d3xf(r)e~ikr, i analogicznie w przypadku czterech wymiarów. JEDNOSTKI W szędzie, gdzie to nie jest specjalnie zaznaczone, stosowane są jednostki relatywistyczne, w których h = 1, c = 1. W tych jednostkach kwadrat ładunku elementarnego wynosi e1 = 1/137. 0 Oznaczenia Diraca.

j- XVI Niektóre oznaczenia Jednostki atomowe: e - 1, tí = 1, tn — 1. W tychjednostkach c — 137. Jednostkami atomowymi długości, czasu i energii sąodpowiedniohr/me~, Ir*/me4 oraz me4/Ir (wielkość Ry = me4/2h2 nazywana jest rydbergiem). Jako jednostki standardowe przyjęto jednostki układu C G S . STALE FIZYCZNE Prędkość światła c = 2,998 • 10IH cm/s. Ładunek elementarny0 \e\ = 4,803 ■10" 10 jednostek CGS ładunku. Masa elektronu m = 9,11 ■10-28 g. Stała Plancka h = 1,055 • 1(L27 erg ■s. Stała struktury subtelnej a = e2/lic, l / a = 137,04. Promień Bohra h2/m e2 = 5,292 ■10" 9 cm. Klasyczny promień elektronu re = e2/m c2 - 2,818 • 10" 13 cm Długość komptonowskiej fali elektronu h/mc = 3,862 • 10"" cm. Energia spoczynkowa elektronu mc2 = 0,511 ■106 eV. Atomowa jednostka energii me4/h2 = 4,360 • 10"" erg = 27,21 eV. Magneton Bohra \e\h/2mc = 9,274 ■1(L21 erg • G s"1. Masa protonu m p = 1,673 • 10" 24 g Długość komptonowskiej fali protonu h/m pc = 2,103 • 10" 14 cm. Magneton jądrowy \e\h/2m c = 5,051 ■10" 24 erg • G s"1. Stosunek mas mionu i elektronu m j m = 2,068 -10". ODSYŁACZE Odesłania do pozostałych tomów tego Kursu oznaczone są cyframi rzymskimi: I - M e­ chanika (2008); II Teoria pola (2009); III Mechanika kwantowa (2012); VIII Elek­ trodynamika ośrodków ciągłych (2011); X Kinetyka fizyczna (2013). 0 W tej książce (z wyjątkiem rozdziału XIV) symbol e oznaczający ładunek cząstki uwzględnia jego znak, tak że w przypadku elektronu e = -\e\.

Wprowadzenie § I . Związki nieoznaczoności w reżimie relatywistycznym Teoria kwantowa wyłożona w tomie III tego Kursu ma zasadniczo nierelatywistyczny charakter i nie stosuje się do zjawisk, którym towarzyszą ruchy z prędkościami, które nie są małe w porównaniu z prędkością światła. Z pozoru wydawać by się mogło, że przejście do teorii relatywistycznej jest możliwe drogą mniej lub bardziej bezpośredniego uogólnienia aparatu nierelatywistycznej mechaniki kwantowej. Jednak bardziej wnikliwe rozpatrzenie tej sprawy pokazuje, iż zbudowanie logicznie zamkniętej teorii relatywi­ stycznej wymaga odwołania się do nowych zasad fizycznych. Przypomnijmy niektóre założenia fizyczne leżące u podstaw nierelatywistycznej me­ chaniki kwantowej (t. III, § 1). Fundamentalną rolę odgrywa w tej teorii pojęcie pomiaru, przez który należy rozumieć proces oddziaływania układu kwantowego z „obiektem kla­ sycznym” („przyrządem”), w wyniku którego układ kwantowy przyjmuje określone war­ tości tych lub innych zmiennych dynamicznych (współrzędnych, prędkości itp.). Co wię­ cej, mechanika kwantowa silnie ogranicza możliwość jednoczesnego przypisania elek­ tronowi0 niektórych zmiennych dynamicznych. I tak nieoznaczoności (niepewności) Aq i Ap, z którymi można jednocześnie podać jego współrzędną położenia i pęd, są ogra­ niczone związkiem2' AqAp ~ h: z im większą dokładnością mierzona jest jedna z tych wielkości, z tym mniejszą dokładnością może być jednocześnie zmierzona druga z nich. Ważne jest jest jednak to, że oddzielnie każda ze zmiennych dynamicznych charakte­ ryzujących elektron mogłaby być zmierzona z dowolnie dużą dokładnością i to w dowol­ nie krótkim czasie. Założenie to odgrywa fundamentalną rolę w całej nierelatywistycznej mechanice kwantowej. Tylko dzięki niemu można wprowadzić funkcję falową, kluczową dla aparatu tej teorii. Rzeczywiście: sens fizyczny funkcji talowej ip(q) zawiera się w tym, że kwadrat jej modułu określa prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku przeprowadzo­ nego w danej chwili pomiaru tej lub innej wartości współrzędnej położenia elektronu. Jasne jest, że niezbędnym warunkiem wprowadzenia takiego prawdopodobieństwa jest zasadnicza możliwość dokonania dowolnie dokładnego i dowolnie szybkiego pomiaru współrzędnej; w przeciwnym razie pojęcie to stałoby się bezprzedmiotowe i staciłoby swój sens fizyczny. 0 Tak jak w § 1 tomu III mówimy dla ustalenia uwagi o elektronie, mając na myśli dowolny uktad kwantowy. 2> W tym rozdziale posługujemy się jednostkami standardowymi.

2 Wprowadzenie Istnienie prędkości granicznej (prędkości światła c) nakłada na możliwości pomiaru różnych wielkości fizycznych nowe zasadnicze ograniczenia (L.D. Landau, R. Peierls, 1930). W § 44 t. III wyprowadzona została relacja (u -v )A p A t ~ h, ( I D wiążąca nieoznaczoność Ap pomiaru pędu elektronu z długością At czasu trwania samego procesu pomiaru; u i u' są tu prędkościami elektronu przed pomiarem i po nim. Z relacji tej wynika, iż w ciągu bardzo krótkiego czasu At można zmierzyć pęd dostatecznie dokładnie (tj. uzyskać małe Ap przy małym At) jedynie za cenę odpowiednio dużej zmiany prędkości elektronu w samym procesie pomiaru. Według teorii nierelatywistycznej jest to przejawem niepowtarzalności pomiaru pędu w ciągu krótkiego czasu, ale w żadnej mierze nie narusza zasadniczej możliwości dowolnie dokładnego jednorazowego zmierzenia pędu, ponieważ różnica v' - v może być uczyniona dowolnie dużą. Istnienie prędkości granicznej zmienia jednak stan rzeczy w sposób zasadniczy. Róż­ nica u' - v, tak jak i same prędkości, nie może teraz przewyższać c (dokładniej 2 c). Zastępując w (1.1) vf - u przez c, otrzymamy relację ApAt ~ fi/c, (1.2) określającą najlepszą możliwą do uzyskania, z pryncypialnego punktu widzenia, dokład­ ność pomiaru pędu przy zadanym czasie pomiaru At. Okazuje się więc, że według teorii relatywistycznej dowolniedokładne i dowolnie szybkiezmierzenie pędu jest niemoż­ liwe z przyczyn zasadniczych.Dokładne zmierzenie pędu (Ap —>0) możliwe jest tylko w granicy nieskończenie długiego czasu pomiaru. Są podstawy, by sądzić, że zmianie ulega także zagadnienie mierzalności samej współrzędnej położenia. W matematycznym formalizmie teorii objawia się to sprzeczno­ ścią pomiędzy dokładnym pomiarem współrzędnej i stwierdzeniem, iż energia swobodnej cząstki jest dodatnia. Zobaczymy dalej, że w układzie zupełnym rozwiązań relatywistycz­ nego równania falowego występują także (obok rozwiązań z „poprawną” zależnością od czasu) rozwiązania z „ujemną częstością”. Funkcje te, w ogólnym przypadku, rów­ nież wystąpią w rozkładzie paczki falowej odpowiadającej elektronowi zlokalizowanemu w niewielkim obszarze przestrzeni. Jak będzie to pokazane, funkcje falowe o ujemnej częstości są związane z istnie­ niem antycząstek - pozytonów. Występowanie tych funkcji w rozkładzie paczki falowej odzwierciedla, nieuniknione w ogólnym przypadku, tworzenie się par elektron-pozyton w procesie pomiaru położenia elektronu. Tworzenie się nowych cząstek, niekontrolowane przez sam proces pomiaru położenia, pozbawia ten pomiar sensu. W układzie spoczynkowym elektronu minimalna niepewność Aq pomiaru współrzęd­ nej jego położenia wynosi Aq ~ h/mc. (1.3) Wartości tej (która jednoznacznie wynika także z analizy wymiarowej) odpowiada nie­ oznaczoność pędu Ap ~ mc, która, ze swej strony, odpowiada energii progowej potrzebnej do kreacji pary.

§ i . Związki nieoznaczoności w reżimie relatywistycznym 3 ~] W układzie odniesienia, w którym poruszający się elektron ma energię s, za­ miast (1.3) mamy Aq ~ fic/e. (1-4) W szczególności, w granicznym przypadku ultrarelatywistycznym, kiedy to energia wiąże się z pędem wzorem s ~ cp, Aq ~ h/p, (1.5) tj. nieoznaczoność Aq pokrywa się wtedy z długością fali de Broglie’a cząstki0. Dla fotonów zawsze mamy do czynienia z przypadkiem ultrarelatywistycznym, tak że słuszny jest związek (1.5). Oznacza to, iż mówienie o położeniu fotonu ma sens tylko w tych przypadkach, kiedy charakterystyczne rozmiary układu są wielkie w porównaniu z długością fali. Nie jest to jednak nic innego, jak granica „klasyczna” odpowiadająca optyce geometrycznej, w której można mówić o rozchodzeniu się światła wzdłuż okre­ ślonych trajektorii - promieni. Natomiast w przypadku kwantowym, kiedy długość fali nie możebyć uznana za małą, pojęciepołożenia fotonustaje się bezprzedmiotowe. Zoba­ czymy dalej (patrz § 4),że w matematycznym formalizmie teoriiniemierzalność współ­ rzędnych położenia fotonu przejawia się już w niemożliwości skonstruowania z jego funk­ cji falowej wielkości, która mogłaby grać rolę gęstości prawdopodobieństwa, spełniając zarazem niezbędne wymagania relatywistycznej niezmienniczości. Na podstawie powyższych wywodów naturalne jest oczekiwanie, iż przyszła teoria całkowicie zarzuci rozpatrywanie czasowego przebiegu procesów oddziaływania cząstek. Pokaże ona, że procesom tym nie można przypisać charakterystyk, które dawałyby się dokładnie określić (nawet w granicach zwykłej kwantowomechanicznej dokładności), tak że opisanie czasowego przebiegu procesu okaże się iluzoryczne w takim samym stopniu, w jakim iluzoryczne okazały się w nierelatywistycznej mechanice kwantowej klasyczne trajektorie. Jedynymi obserwowalnymi wielkościami będą charakterystyki (pędy, polary­ zacje) cząstek swobodnych, tj. cząstek początkowych wchodzących w oddziaływania oraz cząstek końcowych powstających w wyniku procesu (L.D. Landau, R. Peierls, 1930). Charakterystyczne dla teorii relatywistycznej postawienie problemu polega na wy­ znaczeniu amplitud prawdopodobieństwa przejść łączących zadane początkowe i końcowe (tj. dla t = too) stany układu cząstek. Zbiór amplitud przejścia pomiędzy wszystkimi możliwymi stanami tworzy macierz, rozpraszania, czyli macierz S. Macierz ta będzie nośnikiem kompletnej, mającej obserwowalne fizyczne konsekwencje, informacji o pro­ cesach oddziaływania cząstek (W. Heisenberg, 1938). W chwili obecnej, pełnej i spójnej logicznie relatywistycznej teorii kwantowej jesz­ cze nie ma. Zobaczymy, że do sposobu opisu stanu cząstek istniejąca teoria wprowadza nowe fizyczne aspekty, które opisowi temu przydają pewne cechy teorii pola (patrz § 1 0 ). Zbudowana jest ona jednak w znacznej mierze na wzór i za pomocą pojęć zwykłej mechaniki kwantowej. Taki sposób budowy teorii doprowadził do sukcesu w dziedzinie 0 Rzecz idzie tu pomiarach, dla których z dowolnego wyniku doświadczenia można wnioskować o stanie elektronu. Nie rozpatrujemy tu zatem pomiarów położenia za pomocą zderzeń, kiedy to w trakcie obserwacji prawdopodobieństwo otrzymania wyniku nie jest równe 1. Mimo iż z faktu odchylenia toru cząstki w takim przypadku można wnioskować o położeniu elektronu, to z braku odchylenia żadnych wniosków wyciągnąć się nie da.

|— 4 Wprowadzenie elektrodynamiki kwantowej. Jednak przy bezpośrednim zastosowaniu aparatu matema­ tycznego tej teorii brak pełnej logicznej spójności objawia się występowaniem wyrażeń rozbieżnych. Istnieją co prawda dobrze określone sposoby ich usuwania, niemniej mają one w znacznym stopniu charakter półempirycznych recept i nasza wiara w poprawność otrzymywanych na takiej drodze wyników opiera się w ostatecznym rozrachunku na ich przepięknej zgodności z doświadczeniem, a nie na wewnętrznej spójności i logicznej harmonii podstawowych zasad teorii.* * Stanowisko autorów domaga się komentarza. Jakkolwiek z czysto matematycznego punktu widzenia występujące w obliczeniach w kwantowej teorii pola nieskończoności mogą być uważane za manifestację braku logicznej spójności tej teorii, ich interpretacja fizyczna jest dziś dobrze zrozumiana. Ani elektro­ dynamiki kwantowej, ani nawet modelu standardowego nie można traktować jako teorii opisujących zjawiska zachodzące przy dowolnie wysokich energiach (na dowolnie małych odległościach). Są to teo­ rie efektywne stosowalne tylko do pewnej skali energii, powyżej której obowiązywać powinna jakaś nowa (nieznana jeszcze) teoria, która (jak się zakłada) nie powinna prowadzić do występowania nieskoń­ czoności. Usuwanie nieskończoności z rachunków przeprowadzanych w ramach elektrodynamiki (czy modelu standardowego) pozwala wyrazić obliczane wielkości fizyczne (przekroje czynne, przesunięcia poziomów energii) przez inne mierzone doświadczalnie wielkości (masy cząstek, ich sprzężenia). Zabieg ten zarazem pozwala niejako ukryć całą zależność obliczanych wielkości fizycznych w tych parame­ trach, podobnie jak zależność od szczegółów teorii oddziaływań międzycząsteczkowych jest w klasycznej hydrodynamice ukryta w fenomenologicznych (wyznaczanych doświadczalnie) parametrach, takich jak lepkość. (Przyp, tłum.).

i Foton § 2. Kwantowanie swobodnego pola elektromagnetycznego Stawiając sobie za cel rozpatrzenie pola elektromagnetycznego jako obiektu kwanto­ wego, dogodnie jest wyjść od takiego klasycznego opisu, w którym pole jest scharaktery­ zowane przez wprawdzie nieskończoną, ale jednak dyskretną liczbę zmiennych; taki opis pozwala bowiem bezpośrednio zastosować zwykły aparat mechaniki kwantowej. Przed­ stawianie zaś pola za pomocą potencjałów określonych w każdym punkcie przestrzeni jest z istoty swojej opisem za pomocą ciągłego zbioru zmiennych. Niech A ir, t) będzie potencjałem wektorowym swobodnego pola elektromagnetycz­ nego spełniającym „warunek poprzeczności” div A = 0. (2.1) Ponadto potencjał skalarny <1>= 0. Pola E i H to wówczas E = -A , H = rot A, (2.2) a równania Maxwella sprowadzają się do równania falowego spełnianego przez pole A: fi2\ AA - ^ = 0. (2.3) at- Jak wiadomo (por. t. II, § 52), w elektrodynamice klasycznej przejścia do opisu za pomocą dyskretnego zbioru zmiennych dokonuje się poprzez rozpatrzenie pola w pewnej dużej, ale skończonej objętości przestrzennej V.') Przypomnimy, jak się to robi, pomijając szczegóły rachunkowe. Pole w skończonej objętości można rozłożyć na biegnące fale płaskie, tak że jego potencjał wyraża się szeregiem A = 2 ( a keik-r + a ’ e -ik'r), (2.4) k którego współczynniki ak zależą od czasu według prawa ak ~ e- '“", cj = |k|. (2.5) Na mocy warunku (2.1) zespolone wektory ak są ortogonalne do odpowiadających im wektorów falowych; k ak = 0 . u Aby uniknąć komplikowania wzorów niepotrzebnymi czynnikami, będziemy przyjmować V = 1.

p 6 i. Foton Sumowanie w (2.4) obejmuje nieskończony dyskretny zbiór wartości wektora falo­ wego (wartości jego trzech składowych k \ ku, kz). Przejścia do całkowania po ciągłym rozkładzie można dokonać, korzystając z wyrażenia dającego liczbę możliwych wartości wektora k przypadających na jednostkowy element objętości d 3k przestrzeni k. Podanie wektorów ak określa pole w rozpatrywanej objętości w sposób jednoznaczny. Wielkości te można zatem uważać za dyskretny zbiór klasycznych „zmiennych polowych”. Aby wyjaśnić sposób przejścia do teorii kwantowej, konieczne jest jednak jeszcze jedno przedetiniowanie tych zmiennych, dzięki któremu równania pola przyjmują postać analo­ giczną do postaci kanonicznych równań (Hamiltona) mechaniki klasycznej. Kanoniczne zmienne polowe są zdefiniowane wzorami (są one jawnie rzeczywiste). Potencjał wektorowy wyraża się przez zmienne kanoniczne wzorem wyrazić przez wielkości Q k i Pk. Podstawiając tu E i H wyrażone za pomocą (2.2) przez A w postaci sumy (2.7) i wykonując całkowanie, otrzymamy Każdy z wektorów Pk i Qk jest prostopadły do wektora falowego k, tj. ma tylko dwie niezależne składowe. Kierunek tych wektorów wyznacza kierunek polaryzacji odpowia­ dającej im fali. Oznaczając te dwie składowe wektorów Q k i Pk (leżące w płaszczyźnie prostopadłej do k) przez Qk(t i l \ rr (a = 1,2), przepisujemy funkcję Hamiltona w postaci W ten sposób funkcja Hamiltona rozkłada się na sumę niezależnych członów, z któ­ rych każdy zależy tylko od jednej pary wielkości Qkir i Pk(l. Każdy taki człon odpowiada fali biegnącej mającej dobrze określony wektor falowy oraz polaryzację i ma przy tym postać funkcji Hamiltona jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. Z tego powodu uzyskany rozkład nazywa się rozkładem pola na oscylatory. d 3k /(2 n )3, ( 2.6) (2.7) W celu znalezienia hamiltonianu należy całkowitą energię pola k (2.8)

§ 2. Kwantowanie swobodnego pola elektromagnetycznego 7 ~| Przejdziemy teraz do kwantowania swobodnego pola elektromagnetycznego. Przed­ stawiony klasyczny opis pola czyni sposób przejścia do teorii kwantowej oczywistym. Zmienne kanoniczne - współrzędne uogólnione Qka oraz pędy uogólnione Pka - należy teraz uważać za operatory spełniające związek komutacyjny (przemienności) (wszystkie zaś operatory mające różne wskaźniki ker są wzajemnie przemienne). Wraz z nimi (hermitowskimi) operatorami stają się także potencjał A i, zgodnie z (2.2), natę­ żenia pól E i H. Kolejny krok - znalezienie hamiltonianu - wymaga obliczenia całki w której E i H są wyrażone przez operatory Pka i Qka- Okazuje się jednk, iż niepize- mienność tych ostatnich przy tym się nie ujawnia, ponieważ iloczyny QkaPka wchodzą tu mnożone przez czynniki cos(k ■r) sinik •r), które zerują się przy całkowaniu po całej objętości. Dzięki temu jako hamiltonian otrzymujemy wyrażenie które jest dokładnie takie samo jak klasyczna funkcja Hamiltona, czego też natuialnie należało się spodziewać. W yznaczenie wartości własnych tego hamiltonianu nie wymaga dodatkowych obli­ czeń, gdyż sprowadza się do znanego problemu poziomów energii oscylatorów liniowych (por. t. III, § 23). Dlatego też od razu możemy wypisać poziomy energii pola: gdzie N ka są liczbami całkowitymi. Do analizy tego wzoru powrócimy w następnym paragrafie, a obecnie wypiszemy elementy macierzowe wielkości Qktr, co można zrobić, wykorzystując bezpośrednio znane wzory na elementy macierzowe współrzędnych oscylatora (por. t. III, § 23). Niezerowymi elementami macierzowymi są Elementy macierzowe wielkości Pka = Qka różnią się od elementów macierzowych Qka tylko o czynniki ±ico. W dalszych rachunkach zamiast wielkościami Qka i Pka wygodniej będzie jednak posługiwać się ich kombinacjami liniowymi o>Qka± iPko, które mają niezerowe elementy macierzowe tylko dla przejść Nka —>Nklt ± 1. W związku z tym wprowadzamy operatory K,A„-QklA (2.9) (2.10) (2. 11) (2.12) (Nka\Qka\Nk a - \ ) = (Nktr- l \ Q ka\Nka) = (2.13)

L 8 I. Foton (z dokładnością do czynnika \pjnja> klasyczne wielkości cka., cka pokrywają się ze współ­ czynnikami a^a z rozkładu (2.4)). Elementy macierzowe tychoperatorów są równe - ' Ic iJ A U = (NkJ c L \N kli - 1) =VAC- (2' 15>Związek przemienności ćk(r z ćk otrzymuje się z definicji (2.14) i reguły (2.9): C, cf - ct c, = 1 (2.16)ko ka ko- kff W celu wypisania potencjału wektorowego wracamy do rozwinięcia (2.4), którego współczynniki są już teraz operatorami. Zapiszemy je w postaci A = (ck6w óatt,. (2.22) Podstawiając operatory (2.19) do (2.10) i wykonując całkowanie za pomocą wzoru (2.22), otrzymamy hamiltonian pola wyrażony przez operatory ćko., ćk : H = ^ + ^kir^ko.)- (2.23) ko Operator ten w rozpatrywanej tu reprezentacji (elementy macierzowe operatorów ćktr i ćka są dane przez (2.15)) jest diagonalny i jego wartości własne pokrywają się oczywiście z poziomami (2 .12).

§ 2. Kwantowanie swobodnego pola elektromagnetycznego 9 “ i W teorii klasycznej pęd pola wyznacza całka P = — f d 3jrE x H. 4 jt J Przechodząc do teorii kwantowej, zastępujemy E i H operatorami (2.19) i bez trudu znajdujemy, że p = Y j + " 2 6 k<> ( n = k /^)> f2-24) ka w zgodzie ze znanym klasycznym związkiem między energią i pędem płaskich fal elek­ tromagnetycznych. Wartościami własnymi operatora pędu są p = j > K « + y - ^ - 2 5) ktf Reprezentacja operatorów, jaką tworzą elementy macierzowe (2.15), jest reprezenta­ cją „liczby obsadzeń”. Odpowiada ona opisowi stanu układu (pola) przez podanie kwanto­ wych liczb N kn (liczb obsadzeń). W tej reprezentacji operatory pola (2.19) (a wraz z nimi i hamiltonian (2.11)) działają na funkcję falową układu wyrażoną poprzez liczby Nka. Oznaczmy ją $(N ka,t). Operatory pola (2.19) nie zależą jawnie od czasu. Odpowiada to standardowej w nierelatywistycznej mechanice kwantowej reprezentacji operatorów - tzw. obrazowi Schródingera. W reprezentacji tej od czasu zależy stan . d t Taki opis pola jest w zasadzie relatywistycznie niezmienniczy, ponieważ opiera się na niezmienniczych równaniach Maxwella. Niezmienniczość ta nie jest jednak jawna - przede wszystkim dlatego, że współrzędne przestrzenne i czas wchodzą w ten opis w sposób skrajnie niesymetryczny. W teorii relatywistycznej pożądane jest nadanie opisowi bardziej jawnie niezmienni­ czej formy. W tym celu należy posłużyć się tak zwanym obrazem Heisenberga, w którym jaw na zależność od czasu jest przeniesiona na same operatory (por. t. III, § 13). W ta­ kim opisie czas i współrzędne wchodzą w wyrażenia dla operatorów pola na równych prawach, natomiast stan T układu jest funkcją jedynie liczb obsadzeń. W przypadku operatora A przejście do obrazu Heisenberga sprowadza się do zamiany eik r na eiik r“" ') w każdym z czynników (2.18) w sumie (2.17), tj. do tego, by przez Ak(1. rozumieć zależną od czasu funkcję ( Ak„ = V 4 i ^ L e- i(k'r- w,). (2.26) V2 co Łatwo sprawdzić ten przepis, zauważając, iż w odpowiadającym przejściu i —>/ elemen­ cie macierzowym heisenbergowskiego operatora powinien występować czynnik e "Ll / ,)r, gdzie Ef oraz E f są energiami stanów początkowego i końcowego (por. t. III, § 13). Dla przejść, w których Nka ulega zmniejszeniu lub zwiększeniu o 1, czynnik ten redukuje się odpowiednio do e~iw' lub eiw' . Podany wyżej przepis czyni zadość temu wymaganiu. W dalszych rozważaniach (przy rozpatrywaniu zarówno pola elektromagnetycznego, jak i pól cząstek) będziemy zawsze pracować z operatorami w obrazie Heisenberga.

[— 10 i. Foton §3. Fotony Zajmiemy się teraz omówieniem otrzymanych reguł kwantowania pola. Przede wszystkim wzór (2.12) na energię pola ujawnia następującą trudność. Najniż­ szemu poziomowi energii pola odpowiadają zerowe wartości liczb kwantowych N kir dla wszystkich oscylatorów (stan ten nazywa się stanem próżni pola elektromagnetycznego). Jednak nawet w tym stanie każdy z oscylatorów ma nieznikającą „energię zerową” aj/2. Po wysumowaniu po nieskończonej liczbie wszystkich oscylatorów otrzymujemy więc wynik nieskończony. Napotykamy tu jedną z „rozbieżności do jakich prowadzi brak pełnej logicznej spójności istniejącej teorii. Dopóki dotyczy to tylko wartości własnych energii pola, trudność tę można usunąć prostym odjęciem energii drgań zerowych, tj. uznając za energię i pęd pola w ielkości1' W zory te pozwalają wprowadzić podstawowe dla całej elektrodynamiki kwantowej pojęcie kwantów światku czyli fotonów2>. Możemy mianowicie uważać swobodne pole elektromagnetyczne za zbiór cząstek, z których każda ma energię co (= Ino) i pęd k (= n Ino/c). Związek energii z pędem fotonu jest taki, jaki powinien być w relatywistycz­ nej mechanice cząstek o masie spoczynkowej równej zeru poruszających się z prędkością światła. Liczby obsadzeń Nka nabierają tu znaczenia liczb fotonów o pędach k i pola­ ryzacjach e(a\ Polaryzacja fotonu jest jego właściwością analogiczną do spinu innych cząstek (szczególne właściwości fotonu w tym względzie będą rozpatrzone niżej, w § 6 ). Łatwo zauważyć, iż rozwinięty w poprzednim paragrafie formalizm matematyczny w pełni zgadza się z wyobrażeniem o polu elektromagnetycznym jako zbiorze fotonów; nie jest on niczym innym, jak zastosowaniem aparatu tzw. drugiej kwantyzacji do układu fotonów:,). W metodzie tej (por. t. III, §64) rolę niezależnych zmiennych grają liczby obsadzeń stanów, a operatory działają na funkcje tych liczb. Podstawową rolę spełniają przy tym operatory „anihilacji” i „kreacji” cząstek, odpowiednio zmniejszające i zwięk­ szające o jeden odpowiadające im liczby obsadzeń. Takimi właśnie operatorami są cka i ćk : operator ćka anihiluje foton w stanie ker, a ćk tworzy foton w tym stanie. Związek komutacyjny (2.16) odpowiada przypadkowi cząstek podlegających staty­ styce Bosego. Fotony są więc bozonami, tak jak się tego od początku należało spodzie­ wać: dozwolona jest dowolna liczba fotonów zajmujących którykolwiek ze stanów (do roli, jaką spełnia ta reguła, powrócimy jeszcze w § 5). Odjęcie to można przeprowadzić w formalnie niesprzeczny sposób, przyjmując umowę, że przez iloczyny operatorów w (2.10) rozumie się „iloczyny normalne”, tzn. takie, w których operatory ¿4 umieszcza się zawsze po lewej stronie operatorów c. Wzór (2.23) przybiera wtedy postać 2) Pojęcie fotonu byto wprowadzone po raz pierwszy przez A. Einsteina (1905). 3> Metodę drugiej kwantyzacji w zastosowaniu do promieniowania rozwinął P.A.M. Dirac (1927). (3.1)

§ 3. Fotony I i ~| Fale płaskie Akff (2.26) stojące w operatorze A (2.17) w charakterze współczyn­ ników przy operatorach „anihilacji” i „kreacji” fotonów można traktować jak funkcje falowe fotonów o dobrze określonych pędach k i polaryzacjach ete). W nierelatywi- stycznym formalizmie drugiej kwantyzacji takie traktowanie odpowiada rozkładowi ope­ ratora na szereg funkcji falowych stacjonarnych stanów cząstek (w odróżnieniu jed­ nak od przypadku nierelatywistycznego, w rozkładach (2.17) występują zarówno opera­ tory anihilacji, jak i operatory kreacji cząstek; sens tej różnicy będzie wyjaśniony dalej, por. § 1 2 ). Funkcja falowa (2.26) jest unormowana warunkiem 1 4t t J d ^ l E J 2 + | H J 2) = oz (3.2) Unormowanie to odpowiada jednemu fotonowi w objętości V = 1. Rzeczywiście, całka po lewej stronie tej równości reprezentuje kwantowomechaniczną średnią wartość energii fotonu w stanie o danej funkcji falowej1*, po prawej zaś stronie równości (3.2) stoi energia jednego fotonu. Rolę „równania Schródingera” dla fotonu grają równania Maxwella. W rozpatrywa­ nym przypadku (gdy potencjał A(r, t) spełnia warunek (2.1)) jest to równanie falowe ^ - A A = 0 . dt2 W ogólnym przypadku stanów stacjonarnych „funkcje falowe” fotonu są zespolonymi rozwiązaniami tego równania zależącymi od czasu poprzez czynnik e '1"'. Mówiąc o funkcji falowej fotonu, podkreślmy raz jeszcze, że - w przeciwieństwie do podstawowego sensu, jaki funkcja falowa ma w nierelatywistycznej mechanice kwan­ towej - nie można jej w żadnym wypadku uważać za amplitudę prawdopodobieństwa przestrzennej lokalizacji fotonu. Wiąże się to z tym, że (jak było to wyjaśnione w § 1) pojęcie współrzędnych fotonu w ogóle nie ma fizycznego sensu. Do matematycznego aspektu tej sytuacji powrócimy jeszcze przy końcu następnego paragrafu. W spółczynniki rozkładu Fouriera funkcji Air, i) ze względu na współrzędne x, y, z tworzą funkcję falową fotonu w reprezentacji pędowej, którą oznaczmy A(k,f) = A(k)e^iw'. I tak, funkcja falowa w reprezentacji pędowej stanu o określonym pędzie k i polaryzacji e(a) dana jest przez współczynnik stojący przy czynniku eksponencjalnym w (2.26): Aka( k ',a ') = V ^ - ^ = 5 kk, Zwróćmy uwagę na to, że współczynnik l/4jt przed całką we wzorze (3,2) jest dwa razy większy od standardowego czynnika l/8jr w (2.10), Różnica ta, w ostatecznym rozrachunku, wynika z tego, że wektory Ek„ i Hk„ są zespolone, podczas gdy operatory E i H są hermitowskie.

prawdopodobieństwa w ka są dane przez kwadraty modułów współczynników rozkładu funkcji A (k') na funkcje falowe stanów o określonych k i e'-"0: wkc K ^ A Ł , ( k > ') - A ( k ') k'tf' (współczynnik proporcjonalności zależy od sposobu unormowania funkcji). Podstawiając tu (3.3), otrzymamy wka K |e' - A ( k ) [ (3.4) Po wysumowaniu po dwu polaryzacjach znajdujemy prawdopodobieństwo tego, że foton ma pęd k: tŁ>k CC|A (k) |2 . (3.5) §4. Niezmienniczość względem cechowania Jak wiadomo, w klasycznej elektrodynamice wybór potencjałów pola jest niejedno­ znaczny: składowe czteropotencjału A można poddać dowolnemu przekształceniu ce­ chowania \ ’ (4.1) w k tórym ^ jest dowolną funkcją współrzędnych i czasu (por. t. II, § 18). W przypadku fali płaskiej, jeśli ograniczyć się do przekształceń niezmieniających postaci potencjału (jego proporcjonalności do czynnika e^lA"v,‘), niejednoznaczność ta redukuje się do możliwości dodania do amplitudy fali dowolnego czterowektora proporcjonalnego do k?. Niejednoznaczność potencjału utrzymuje się, oczywiście, także i w teorii kwantowej i odnosi się do operatorów pola lub do funkcji falowych fotonów. Nie decydując się z góry na konkretny wybór potencjału, należy zamiast (2.17) pisać analogiczne rozwi­ nięcie operatora czteropotencjału: ^ = ^ 2 ) kiy Funkcje falowe Aka są tu czterowektorami postaci . e<“)M Ak = V 4 i - — e-*'* , = _ , k" a/2 w " lub, opuszczając w skróconym zapisie wskaźniki czterowektorów, ,( = - 1. (4.3) V2 m Czterowektor pędu ma tu postać W = ( oj, k) (tak iż k x = o>t - k ■r), a eu,) ( a = 1 ,2 ) są dwoma jednostkowymi czterowektorami polaryzacji0. 0 Wyrażenie (4.3) nie ma w pełni relatywistycznie współzmienniczej (czterowektorowej) postaci, co wiąże się z niewspółzmienniczym charakterem przyjętej przez nas normalizacji w skończonej objętości V = 1. Ten brak współzmienniczości nie ma jednak zasadniczego znaczenia i jest w pełni równoważony wygodą takiego sposobu normowania. Zobaczymy dalej, że zapewnia on szybkie i łatwe otrzymywanie wielkości fizycznych w wymaganej niezmienniczej postaci.