Ciągi liczbowe.pdf

Ciąg to funkcja odwzorowująca zbiór liczb naturalnych dodatnich w pewien niepusty zbiór Y. Definicja - ciąg Jeżeli Y ⊂ R to o ciągu mówimy liczbowo-liczbowy (ciąg liczbowy). Uwaga!!! Wykres każdego ciągu znajduje się w I, IV ćwiartce osi współrzędnych i na dodatniej osi odciętych. Wykresem kązdego ciągu są pojedyncze punkty, których odcięte są liczbami naturalnymi dodatnimi. Dla dowolnego ciągu liczbowe zachodzi gdzie Twierdzenie - wzór ogólny z sumy , stąd: Odejmując równanie stronami otrzymujemy: Dowód: Podstawy Ciągi liczbowe Page 1

Ciąg ( ) jest ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Definicja - ciąg rosnący Ciąg jest rosnący, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz następny jest większy od wyrazu poprzedniego. Ciąg ( ) jest ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Definicja - ciąg malejący Ciąg jest malejący, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz następny jest mniejszy od wyrazu poprzedniego. Ciąg ( ) jest ciągiem stałym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Definicja - ciąg malejący Ciąg jest malejący, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz następny jest równy wyrazowi poprzedniemu. Monotoniczność dla znanych wyrazów ciągów Ciągi rosnące Ciąg ( ) o wyrazach dodatnich jest ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Ciąg ( ) o wyrazach ujemnych jest ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Ciągi malejące Ciąg ( ) o wyrazach dodatnich jest ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Ciąg ( ) o wyrazach ujemnych jest ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Ciąg stały Ciąg ( ) o wyrazach różnych od 0 jest ciągiem stałym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Monotoniczność ciągów liczbowych Ciągi liczbowe Page 2

r - różnica ciągu arytmetycznego Ciąg ( ) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy następny wyraz powstaje po dodaniu do poprzedniego stałej r. Ciąg jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Definicja - ciąg arytmetyczny Uwaga!!! Ciąg arytmetyczny musi posiadać minimum 3 wyrazy, inaczej nie stwierdzimy, czy jest arytmetyczny. Każdy ciąg arytmetyczny jest ciągiem monotonicznym. Jeżeli ciąg jest ciągiem arytmetycznym to: jest ciągiem rosnącym Dla jest ciągiem malejącym Dla jest ciągiem stałym Dla Twierdzenie - monotoniczność ciągu arytmetycznego , gdzie Jeżeli ciąg jest ciągiem arytmetycznym to: Twierdzenie - wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego Jeżeli ciąg jest ciągiem arytmetycznym to: , gdzie y a ó Twierdzenie - wzór na sume n poczatkowych wyrazów w ciagu arytmetycznym Jeżeli ciąg jest ciągiem arytmetycznym to zachodzi warunek: Twierdzenie - średnia arytmetyczna Uwaga!! O ciągu arytmetycznym wiemy wszystko gdy znamy jego i . Ciąg arytmetyczny Ciągi liczbowe Page 3

q - iloraz ciągu arytmetycznego Ciąg ( ) jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy następny wyraz powstaje po pomnożeniu do poprzedniego przez stałą q. Ciąg jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: Definicja - ciąg geometryczny Jeżeli ciąg jest ciągiem geometryczny i nie posiada wyrazów równych zero to zachodzi warunek: Uwaga!!! Jeżeli jeden z wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 0 to reszta jego wyrazów też wynosi 0. Ciąg jest ciągiem arytmetycznym i geometrycznym, gdy jest stały (q = 1, r = 0). , gdzie s a a Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym to: Twierdzenie - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym to: , gdzie y a ó Twierdzenie - wzór na sume n poczatkowych wyrazów w ciagu geometrycznym Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym to zachodzą warunki: Twierdzenie - średnia geometryczna Ciąg stały Ciąg niemonotonniczny Ciąg rosnacy Ciąg malejący Uwaga!! O ciągu geometrycznym wiemy wszystko gdy znamy jego i . Ciąg geometryczny Ciągi liczbowe Page 4

to suma nieskończonego ciągu geometrycznego = szereg geometryczny Wyrażenie: Definicja - szereg geometryczny , gdzie Jeżeli ciąg to istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosząca: Twierdzenie - o istniejącej sumie (zbieżności) szeregu geometrycznego Jak widać, dla granica z dąży do 0, z tego wynika, że licznik dąży do 1. Dowód: Po pierwsze wyznaczamy dziedzinę danego równania/nierówności. Oprócz standardowych mianowników, pierwiastków, logarytmów etc., sprawdzamy kiedy dany szereg geometryczny jest zbieżny – sprowadza się to do rozwiązania nierówności • Zastępujemy dany szereg geometryczny jego sumą, zgodnie ze wzorem• Rozwiązujemy otrzymane równanie/nierówność (w którym nie ma już żadnych kropek) i odrzucamy rozwiązania, które nie są zawarte w wyznaczonej wcześniej dziedzinie. • Rozwiązywanie zadań: Szereg geometryczny Ciągi liczbowe Page 5