Wielomiany.pdf

Wielomian jednej zmiennej to funkcja w postaci: , gdzie Definicja - wielomian jednej zmiennej W(x) = 0 - wielomian zerowy W(x) = const ≠ 0 - wielomian stopnia 0 Suma wszystkich współczynników wielomianu W wynosi W(1). Twierdzenie - suma wszystkich współczynników wielomianu Dowód: Różnica sumy współczynników stojących przy potęgach parzystych zmiennej i sumy współczynników stojących przy nieparzystych potęgach zmiennej to W(-1). Twierdzenie - różnica współczynników Dowód: Wyrażenie to wartość sumy współczynników wielomianu W stojących przy parzystych potęgach zmiennych. Wyrażenie to wartość sumy współczynników wielomianu W stojących przy nieparzystych potęgach zmiennych. Twierdzenie - suma parzystych współczynników Niech Dodając równania stronami otrzymujemy: Odejmując równania stronami otrzymujemy: Dowód: Jeżeli to: Jeżeli to: Podstawy (cz. I) Wielomiany Page 1

Miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu 1 zmiennej jest liczba dla której wartość wielomianu wynosi 0. Każdy wielomian stopnia nieparzystego posiada co najmniej jedno miejsce zerowe.• Wielomiany stopnia parzystego mogą nie posiadać miejsc zerowych.• Wielomian stopnia n może posiadać co najwyżej n miejsc zerowych. Twierdzenie - ilość miejsc zerowych wielomianu Każdy wielomian stopnia wyższego niż drugi można zapisać w postaci iloczynowej, w której czynniki są co najwyżej stopnia 2. Twierdzenie - postać iloczynu wielomianu Dzielenie wielomianów Wielomian W jest podzielny bez reszty przez wielomian P, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wielomian Q taki, że : Definicja - dzielenie bez reszty Wielomian W jest podzielny bez reszty przez wielomian P, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wielomian Q i R taki, że : Definicja - dzielenie z resztą Reszta z dzielenia wielomianu W przez wynosi . Reszta z dzielenia wielomianu W przez , gdzie a=/=0 wynosi . Twierdzenie - reszta z dzielenia wielomianu Jeżeli jest wielomianem o współczynnikach całkowitych to dla dowolnych liczb całkowitych . jest podzielne bez reszty przez . Twierdzenie - współczynnikach całkowitych Jeżeli Twierdzenie - Viete'a dla wielomianów st. 3 Warunek miejsca zerowego Podstawy (cz.II) Wielomiany Page 2

Najpierw korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, aby przekształcić wielomian na postać iloczynową, ostatnią deską ratunku są poniższe twierdzenia. Kolejność postępowania podczas wyznaczania miejsc zerowych: Wyznaczasz wszystkie możliwości ułamka, który jest potencjalnym miejscem zerowym.1. Sprawdzasz każdy z nich, podstawiając, od najłatwiejszych.2. Jeśli znajdziesz miejsce zerowe, to korzystasz z tw. Be'zouta, dzieląc wielomian przez3. Powtarzasz czynność, aż każdy element iloczynu zmniejszysz do co najwyżej stopnia 2.4. Postępowanie z pomocą poniższych twierdzeń: Jeżeli wielomian W o współczynnikach całkowitych, gdzie ma pierwiastki wymierne to są one w postaci nieskracalnego ułamka , gdzie Twierdzenia nie można stosować dla każdego wielomianu! Jedynie dla tych które mają każdy współczynnik całkowity. Za pomocą tego twierdzenia jesteśmy w stanie wyznaczyć jedynie pierwiastki wymierne wielomianu (o ile istnieją). Twierdzenie - o pierwiastkach wymiernych wielomianu Liczba jest pierwiastkiem wielomianu W, wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez wielomian . W(a) = 0 Założenie: Wielomian W dzieli się przez (x-a) bez reszty Teza: Dowód: , zauważmy Uwz. zał: Wielomian W jest podzielny przez , gdzie to jego miejsce zerowe, bez reszty. Ostatecznie: Niech wielomian W dzieli się przez (x-a) z resztą: Wielomian W dzieli się przez (x-a) bez reszty. Założenie: W(a) = 0 Teza: Dowód: Niech : Korzystając z definicji dzielenia wielomianów bez reszty. jest pierwiastkiem wielomianu W Ostatecznie: Twierdzenie - Be'zouta Twierdzenia Be'zouta obniża stopień wielomianu jedynie o 1 stopień!! Wyznaczanie miejsc zerowych Wielomiany Page 3

Warunek dla którego można wyznaczyć te argumenty dla których wykres funkcji f, leży nad wykresem funkcji g. Warunek nierówności Liczba jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W, wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez bez reszty i dzieli się przez z resztą. - k-krotne miejsce zerowe wielomianu W (k ∈ ). Definicja - k-krotny pierwiastek wielomianu Jeżeli k-liczba parzysta to: Jeżeli k-liczba nieparzysta to Nierówności stopnia wyższego niż 2 (cz.I) Wielomiany Page 4

Wynika to wprost z granic wielomianu. Zaczyna "u dołu" i kończy "u góry". Dla nieparzystej największej potęgi i współczynnika obok niej dodatniego. Zaczyna "u góry" i kończy "u dołu". Dla nieparzystej największej potęgi i współczynnika obok niej ujemnego. Zaczyna "u góry" i kończy "u góry". Dla parzystej największej potęgi i współczynnika obok niej dodatniego. Zaczyna "u dołu" i kończy "u dołu". Dla parzystej największej potęgi i współczynnika obok niej ujemnego. Nierówności stopnia wyższego niż 2 (cz.II) Wielomiany Page 5