Trygonometria.pdf

Kąt płaski to dwie półproste o wspólnym początku wraz z jednym z dwóch obszarów, które te półproste wycinają z płaszczyzny. Kąt wklęsły to kąt o mierze większej od 180 ale mniejszy od 360 1. Kąt wypukły to kąt o mierze mniejszej lub równej 180 2. Definicja - kąt płaski Kąt wpisany w koło to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu koła, zaś ramiona zawierają cięciwy tego koła. Definicja - kąt wpisany w koło Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek jest środkiem koła. Definicja - kąt wpisany w koło - kąt środkowy - kąt wpisany - kąt wpisany Zdegenerowany kąt wpisany, którego ramię jest styczne do okręgu. Definicja - kąt dopisany α – kąt dopisany β – kąt wpisany α = β Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równej miary. Twierdzenie - o katach wpisanych, opartych na tym samym łuku Każdy kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) ma miare 90 (jest kątem prostym). Twierdzenie - o katach wpisanych, opartych na srednicy Kąt środkowy ma miarę 2 razy większą od kąta wpisanego na tym samym łuku. Twierdzenie - o kacie wpisanym i srodkowym opartym na tym samym łuku Promień okręgu w punkcie styczności ze styczną do tego okręgu tworzy kąt prosty. Twierdzenie - o kacie miedzy styczna a promieniem - łuk ACB Kąty (płaski i w kole) - do przerobienia Trygonometria Page 1

miary stopniowej• miary łukowej (radianowej)• miary gradusowej• Kąty płaskie mierzymy najczęściej używając:   s k n a Jednostka miary stopniowej jest jeden stopien ( ). Definicja - miara stopniowa Miarą łukową kąta środkowego w okręgu nazywamy stosunek łuku na którym ten kąt jest oparty, do długości promienia okręgu. - miara kąta w radianach stopnie radiany 2 Definicja - miara łukowa (radianowa) Stopnie na radiany Radiany na stopnie 1 rad to kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa długości promienia okręgu (r=l) Miary kątów Trygonometria Page 2

Jeżeli trójkąt jest prostokątny to sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej. Definicja - sinus kąta ostrego x ∈ <0: Jeżeli trójkąt jest prostokątny to cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej. Definicja - cosinus kąta ostrego x ∈ <0: Jeżeli trójkąt jest prostokątny to tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw kąta do długości drugiej przyprostokątnej. Definicja - tangesa kąta ostrego x ∈ <0: Jeżeli trójkąt jest prostokątny to cotangensem kąta ostrego nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości drugiej przyprostokątnej. Definicja - cotangensa kąta ostrego x ∈ <0: ABC - trójkąt prostokątny a,b - długości przyprostokątnych c - długość przeciwprostokątnej Funkcje trygonometryczne kąta ostrego - definicje Trygonometria Page 3

Wartości każdej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego jest co do wartości dodatnie. Wartość funkcji sin i cos dla każdego kąta ostrego to liczby z przedziału sin cos tg ctg sin (90° - α ) = cos α cos (90° - α ) = sin α sin (90° + α ) = cos α cos (90° + α ) = - sin α Funkcje trygonometryczne - wartości Trygonometria Page 4

Kąt jest kątem skierowanym tylko wtedy, gdy wyróżniamy kolejność ramion. Definicja - kąt skierowany Sinusem kąta dowolnego nazywamy stosunek rzędnej punktu leżącego na 2 ramieniu kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. Definicja - sinus kąta dowolnego Cosinusem kąta dowolnego nazywamy stosunek odciętej punktu leżącego na 2 ramieniu kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. Definicja - cosinus kąta dowolnego Tangensem kąta dowolnego nazywamy stosunek rzędnej punktu leżącego na 2 ramieniu kąta do odciętej tego punktu. Definicja - tanges kąta dowolnego Cotangensem kąta dowolnego nazywamy stosunek odciętej punktu leżącego na 2 ramieniu kąta do długości rzędnej tego punktu. Definicja - cotangens kąta dowolnego Kąt α o dowolnej mierze stopniowej można przedstawić w postaci: , gdzie r = Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta - definicje Trygonometria Page 5

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, powtarzają się co . Własność • • • • Twierdzenia Funkcje: sin, tg, ctg są funkcjami nieparzystymi, zaś cos jest funkcją parzystą. Własność W I ćwiartce same plusy W II tylko sinus W III tanges i cotanges A w IV cosinus Wzory redukcyjne Trygonometria Page 6

Wiadomo, że ,stad z tw. Pitagorasa Dowód : Wiadomo, że ,stad Dowód : Wiadomo, że ,stad Dowód : Wiadomo, że ,stad Dowód : upraszczania wyrażen trygonometrycznych• do wykazywania tożsamości trygonometrycznych• do wyznaczania wartości trygonometrycznych, gdy podano jedną z wartości funkcji trygonometrycznych • Podstawowe związki trygonometryczne (tego samego kąta) wykorzystujemy najczęściej: ABC - trójkąt prostokątny a,b - długości przyprostokątnych c - długość przeciwprostokątnej Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi - dowody na kątach ostrych Trygonometria Page 7

Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych ze znana wartoscia jednej z nich Uwzględniamy założenia i rysujemy trójkąt prostokątny, na którym zaznaczamy stosunek boków (w zależności od funkcji) • Z tw. Pitagorasa liczymy stosunek ostatniego boku • Uzupełniamy reszte funkcji, za pomocą powstałych stosunków na trójkącie. • Definicja - tylko dla Wyznaczamy kofunkcję.• Jeżeli dana jest wartość funkcji sinus albo cosinus to wyznaczamy za pomocą ilorazów tangensa i cotangensa a. Jeżeli dana jest wartość funkcji tangensa albo cotangensa to budujemy układ równań z jedynką trygonometryczną i jednym z ilorazów. b. Definicja - dla każdego kąta Rozwiązywanie zadań Trygonometria Page 8

Wartości dla kątów 30 wzór na wysokość w trójkącie równobocznym wzór na pole trójkąta równobocznego Z Z ABC - trójkąt równoboczny a - długość boku trójkąta C' - spodek wysokości z punktu C Dowody (30 - funkcje trygonometryczne Trygonometria Page 9

Wartości dla kątów 30 wzór na przekatna w kwadracie wzór na pole kwadratu za pomoca przekatnej Z Z ABCD - kwadrat a - długość boku kwadratu p - przekatna kwadratu Dowody (30 i )- funkcje trygonometryczne" Trygonometria Page 10