Granica.pdf

- otoczenie liczby o promieniu Otoczeniem liczby g o promieniu nazywamy przedzial . Definicja - otoczenie - otoczenie liczby o promieniu Sąsiedztwem liczby g o promieniu nazywamy otoczenie liczby g o promieniu bez liczby g. Definicja - sąsiedztwo - granica ciągu , przy n dążacym do wynosi g. Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu ( ) wtedy i tylko wtedy gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie (skończona ilość nie należy) wyrazów ciągu ( ). Definicja - granica ciągu zbieżne - granicą jest stała liczba• rozbieżne - granicą jest lub• niemające granic• Ze względu na granice ciągu wyróżniamy: Żaden ciąg nie może posiadać 2 różnych granic! Co najwyżej może posiadać jedną. Twierdzenie - ilości granic Hipoteza: Istnieje ciąg, który posiada dwie różne granice Jeżeli to istnieją ich otoczenia które są rozłączne np. Jeżeli jest granicą ciągu wówczas do otoczenia należy nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu. Jeżeli jest granicą ciągu wówczas do otoczenia należy nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu. Więc, jeżeli otoczenia są przedziałami rozłącznymi to w każdym z nich brakuje nieskończenie wiele wyrazów ciągu. Ost. Hipoteza jest fałszywa, zatem twierdzenie prawdziwe. Dowód (nie wprost): Podstawy Granica Page 1

Symbole nieoznaczone: Jeżeli podczas obliczania (wyznaczania granicy) otrzymamy symbol nieoznaczony to należy przekształcić wzór lub zastosować odpowiednie twierdzenie. Twierdzenia - odnośnie działań na granicach ( do zrobienia) Niech i będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że oraz . Wtedy zachodzą poniższe równości: • • • • • - wyłączamy największą potęgę przed nawias1. - wylaczamy największą potęgę przed nawias i skracamy.2. - korzystamy ze wzoru:3. - korzystamy ze wzoru:4. - najpierw obliczamy granice wyrażenia pod pierwiastkiem.5. Jak rozwiazywać symbole nieoznaczone: Twierdzenia i symbole nieoznaczone Granica Page 2

- wspolczynnik przy najwiekszej potedze ciagu Q(n) to: Jeżeli - współczynnik przy największej potędze ciągu W(n) Jeżeli to: Jeżeli to: Jeżeli to: Twierdzenia - granica uzależniona od stopnia 1. 2. 3. 4. 5. 6. - Liczba Eulera ( )7. Twierdzenie - podstawowe granice Twierdzenie - o liczbie Eulera Niech będzie ciągiem zbieżnym do 0, którego wyrazy są niezerowe. Wtedy: Twierdzenia do rozwiązywania (cz. I) Granica Page 3

Niech - to ciągi, które dla odpowiednio dużych n spełniają: . Ponadto załóżmy, że mają granice g to: Twierdzenia - o trzech ciagach Niech - to ciągi, które dla odpowiednio dużych n spełniają: . Ponadto załóżmy, że , to wtedy: Twierdzenie - o dwóch ciągach Dany jest ciąg ( ), który: Dla• Dla• Dla• Twierdzenie - d'Alemberta Dany jest ciąg ( ) oraz dowolny ciąg Wtedy jeśli: Twierdzenie - Stolza Dany jest ciąg ( ) o niezerowych wyrazach, jeżeli spełnia: Twierdzenie - o relacjach l Dany jest ciąg ( ) o niezerowych wyrazach, jeżeli spełnia: Wtedy: Twierdzenie - o relacjach 2 l Dany jest ciąg ( ) zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu są ograniczone to: Wtedy: Twierdzenie - o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego Twierdzenia do rozwiązywania (cz. II) Granica Page 4

Jeśli jest ciągła w punkcie a ciąg jest zbieżny do to: Twierdzenia - o funkcji jest od pewnego momentu słabo rosnący są ograniczone od góry to ciąg jest zbieżny. Analogicznie dla malejącego i ograniczonego od dołu. Jeśli jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki: Twierdzenia - o ciągu monotonicznym i ograniczonym Twierdzenia do rozwiązywania (cz. III) Granica Page 5